Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Distribusi Normal juga sering disebut dengan Distribusi Gauss. Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu:

1. Grafik simetri terhadap garis tegak $x=\mu$, dengan $\mu$ adalah rata-rata.

2. Grafik selalu berada di atas sumbu $X$ atau $f(x)>0$

3. Mempunyai satu nilai modus

4. Grafiknya mendekati sumbu $X$ tetapi tidak pernah memotong sumbu $X$ [Sumbu $x$ merupakan asimtot datar]

5. Luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$ sama dengan 1, yaitu $P(-\infty<x<\infty)=1$

Persamaan umum distribusi normal adalah $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}$

MENENTUKAN PELUANG DISTRIBUSI NORMAL

Peluang distribusi normal $f(x)$ pada interval $a<x<b$ ditentukan dengan menghitung luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$. Kalau disajikan dalam gambar akan tampak seperti di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, luas daerah di bawah grafik dan di atas sumbu x adalah 1 dan garis tegak $x=\mu$ merupakan garis sumbu simetri oleh karena itu di sebelah kanan garis $x=\mu$ mempunyai luas $\frac{1}{2}$. Begitupun untuk luas di sebelah kiri $x=\mu$. 

Luas daerah di atas adalah $P(a<x<b)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}}dx$. Proses pengintegralan tersebut sulit untuk dilakukan, oleh karena itu penyelesaianya dilakukan dengan menggunakan transformasi nilai-nilai $X$ menjadi nilai-nilai baku $Z$ yaitu $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.  Dengan tranformasi tersebut, diperoleh rata-rata $\mu=0$ dan $\sigma=1$, sehingga distribusi $f(x)$ berubah menjadi $f(Z)$ dengan persamaan $f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}},-\infty <Z<\infty$.

Jadi peluang $P(z_1<Z<z_2)=\int_{z_1}^{z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}}dx$

Dengan nilai  $P(z_1<Z<z_2)$ dapat dihitung menggunakan table Z.

Distribusi peubah acak normal dengan rataan $0$ dan simpangan baku $1$ disebut dengan distribusi normal baku.

CONTOH SOAL

$[1]$ Diketahui suatu variable acak $X$ mempunyai distribusi normal dengan rata-rata $18$ dan simpangan baku $\frac{5}{2}$. Nilai dari $P(17<X<21)$ adalah …

Jawab.

Diketahui di soal bahwa $\mu=18$ dan $\sigma =\frac{5}{2}$ dan dapat dicari $z_1=\frac{x_1-\mu}{\sigma}=\frac{17-18}{\frac{5}{2}}=-0,4$ dan $z_2=\frac{x_2-\mu}{\sigma}=\frac{21-18}{\frac{5}{2}}=1,2$.

Maka nilai $P(17<X<21)$ ditranformasikan menjadi $P(-0,4<Z<1,2)$

$P(-0,4<Z<1,2)=P(0<Z<0,4)+P(0<Z<1,2)=0,1554+0,3849=0,5303$. 

Catatan: luas daerah kurva normal antara dengan $-0,4<Z<0=0<Z<0,4$

$[2]$ Suatu variabel acak $X$ memenuhi distribusi normal baku . Nilai $P(1,42<Z<2,54)$ adalah

Jawab. 

$P(1,42<Z<2,54)=P(0<Z<2,54)-P(0<Z<1,42)=0,4945-0,4222=0,0723$

Cara membaca table Z
Misalkan kita akan menentukan nilai dari $P(0<Z<1,42)$. Yang perlu diperhatikan adalah angka 1,42 yang kita pecah menjadi 1,4 dan 2. Angka 1,4 kita lihat pada table sebelah kiri secara vertical dan angka 2 lihat di atas table secara horizontal. Hubungkan kedua angka tersebut seperti menghubungkan titik pada koodinat kartesius. Dalam table akan ketemu $P(0<Z<1,42)=0,4222$. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 Dalam kurva normal akan tampak seperti di bawah ini.