ASIMTOT MIRING SUATU FUNGSI

Sebelumnya, kita sudah pernah bahas asimtot datar dan asimtot tegak dari suatu grafik. Sekarang lebih lengkap rasanya kalau kita bahas asimtot miring. Sebelumya, asimtot adalah garis lurus yang mendekati suatu grafik, namun tidak pernah menyentuh grafik. 

Kriteria kemungkinan fungsi mempunyai asimtot miring.

1).  Suatu fungsi berbentuk pecahan, $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Pangkat tertinggi pembilangnya $f(x)$ harus lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebutnya $g(x)$.

3).  Hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$ merupakan asimtot miringnya, dengan syarat hasil baginya harus berderajat satu [Linier].

Cara menentukan asimtot miring

1). Misalkan diberikan fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Tentukan hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$, misalkan hasil baginya $h(x)=ax+b$ dan sisanya $s(x)$, sehingga 

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)+\frac{s(x)}{g(x)}$

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=(ax+b)+\frac{s(x)}{g(x)}$

3). Persamaan linier $h(x)=ax+b$ merupakan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Contoh soal.
Tentukan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2+6x+3}{x-2}$
Jawab.
Dengan menggunakan cara Horner atau pembagian biasa, hasil bagi $x^2+6x+3$ dibagi $x-2$ adalah $h(x)=x+8$ dan sisanya $s(x)=19$.
Jadi $\frac{x^2+6x+3}{x-2}=(x+8)+\frac{19}{x-2}$
Dengan demikian, asimtot miringnya adalah $h(x)=x+8$. Kalau kita gambar akan jadi seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas, garis putus-putus yang berwarna merah adalah asimtot miring dari fungsi. Kalau diperhatikan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+6x+3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( (x+8)+\frac{19}{x-2} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}$.
👉 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}=0$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)=\infty$. Jadi secara sederhana dapat dikatakan bahwa asimtot miring adalah persamaan garis yang jika dilimitkan dengan $x$ mendekati $\infty$ akan menghasilkan $\infty$ juga.
Lihat juga: Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil

GRAFIK FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Definisi Fungsi Genap

Sebuah fungsi genap adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap sumbu (y).

❤Contoh Fungsi Genap.
1. $f(x)=x^2,\ karena\ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^2$

2. $f(x)=cos\ x,\ karena\ f(-x)=cos\ (-x)=cos\ x=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=cos\ x$

Definisi Fungsi Ganjil

Sebuah fungsi ganjil adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=-f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap titik asal.

❤Contoh Fungsi Ganjil
1. $f(x)=x^3,\ karena\ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^3$

2. $f(x)=sin\ x,\ karena\ f(-x)=sin\ (-x)=-sin\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=sin\ x$

3. $f(x)=tan\ x,\ karena\ f(-x)=tan\ (-x)=-tan\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=tan\ x$

Lihat juga: Soal Fungsi Komposisi Ujian Nasional SMA

Menentukan Asimtot Datar dan Tegak Suatu Fungsi

ASIMTOT DATAR

Untuk menentukan asimtot datar yaitu dengan cara menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty $

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{b}{ax}}=0$. Maka asimtot datarnya adalah $y=0$.

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}=\frac{a}{p}$. Maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$.

Kasus 3. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Jika kita menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty $, yaitu $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}}=\infty$. Karena hasilnya $\infty$, maka fungsi di atas tidak mempunyai asimtot datar.

Kesimpulan:

• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n> m$, maka fungsi $f(x)$ tidak mempunyai asimtot datar.
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n=m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=\frac{a}{p}$
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n< m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=0$

ASIMTOT TEGAK

Untuk menentukan asimtot tegak dengan cara menentukan harga (x) sehingga (y) mendekati tak hingga.

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat (x) mendekati (0). Maka asimtot tegaknya adalah $x=0$

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat (x) mendekati $\frac{-q}{p}$

Kesimpulan:
Suatu fungsi akan mempunyai asimtot tegak jika fungsi tersebut berbentuk fungsi pecahan. Asimtot dari fungsi tersebut adalah pembuat nol dari penyebutnya.

Contoh Soal 1:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x-4}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 2 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=\frac{1}{1}=1$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-3x-4=0$
  $(x+1)(x-4)=0$
  $x=-1\ atau\ x=4$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-1$ dan $x=4$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini

Contoh Soal 2:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x+1}{x^{2}-4x-12}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 1 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=0$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-4x-12=0$
  $(x+2)(x-6)=0$
  $x=-2\ atau\ x=6$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-2$ dan $x=6$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini