Pembahasan soal SBMPTN Trigonometri [2]

SBMPTN 2017

Jika $2sinx+3cotx-3cscx=0$, dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $sinx.cosx=...$

Pembahasan

$2sinx+3cotx-3cscx=0$

$2sinx+3\frac{cosx}{sinx}-3\frac{1}{sinx}=0$

$\frac{2sin^2x+3cosx-3}{sinx}=0$

$\frac{2(1-cos^2x)+3cosx-3}{sinx}=0$

$2-2cos^2x+3cosx-3\ dengan\ sinx\neq 0$

$2cos^2x-3cosx+1=0$

Misalkan $cosx=y$, maka

$2y^2-3y+1=0$

$(2y-1)(y-1)=0$

$y=\frac{1}{2}\ atau\ y=1$

karena $0<x<\frac{\pi }{2}$, maka kita pilih $y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2}$. Berdasarkan $cosx=\frac{1}{2}$ perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan gambar di atas, maka $sinx.cosx=\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$

SBMPTN 2017

Jika $\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$ dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $cos^2x-sin^2x=...$

Pembahasan

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}=5$

$tan(2x)=5\rightarrow $ dapat dibuat gambar segitiga seperti di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, maka $cos^2x-sin^2x=cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{26}}$

SBMPTN 2017

Diketahui persamaan $sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$. Jika ${\theta }_1$ dan ${\theta }_2$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan {\theta }_1.tan {\theta }_2=...$

Pembahasan

$sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$

$\frac{1}{cos\theta }\left( \frac{1}{cos\theta } .sin^2\theta+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=0$

$\frac{sin^2\theta }{cos^2\theta}+\frac{2}{3}.\frac{sin\theta}{cos\theta}=1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta =1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta -1 =0$, 

Anggap persamaan kuadrat dengan variabel $tan\theta$, maka $tan{\theta }_1.tan{\theta }_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$

UGM 2018
Diberikan persamaan $2sin^3x-cos^2x-2sinx=0,\ 0\leq x\leq \frac{3\pi }{2}$. Jika $x_1$ penyelesaian terkecil dan $x_2$ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $x_2-x_1= ...$

Pembahasan 

$2sin^3x-cos^2x-2sinx=0$
$2sin^3x-(1-sin^2x)-2sinx=0$
$2sin^3x+sin^2x-2sinx-1=0$
$(sinx-1)(sinx+1)(2sinx+1)=0$
$sinx=1\ atau\ sinx=-1\ atau\ sinx=-\frac{1}{2}$

Untuk $sinx=1\rightarrow x=90^o$

Untuk $sinx=-1\rightarrow x=270^o$
Untuk $sinx=-\frac{1}{2}\rightarrow x=210^o, 330^o$

$maka\ x_2-x_1=330^o-90^o=240^o$

SBMPTN 2018
Himpunan semua bilangan real (x) pada selang $(\pi ,2\pi )$ yang memenuhi $csc\ x(1-cotx)<0$ berbentuk $(a,b)$. Nilai (a+b) adalah ...
Pembahasan
$csc\ x(1-cotx)<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( 1-\frac{cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( \frac{sinx-cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0\rightarrow {sin^2x}>0$, jadi haruslah $sinx-cosx<0$ agar memenuhi $\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0$.

Pembahasan Soal SBMPTN Trigonometri [1]

UM UGM 2016

Jika $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$, maka $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$,
Kalikan $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$ dengan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$ maka

$\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$

$\frac{1-sec\ x}{tan\ x}\times \frac{1+sec\ x}{tan\ x}=5B$

$\frac{1-sec^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$\frac{-tan^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$-1=5B\Leftrightarrow B=\frac{-1}{5}$

UM UGM 2015

Nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah ...

Pembahasan
Nilai minimum $f(x)$ diperoleh ketika $f'(x)=0$, yaitu

$f'(x)=2cos\ x-2sin\ 2x=0$

$2cos\ x-2.2sin\ x.cos\ x=0$

$2cos\ x(1-2sin\ x)=0$

$2cos\ x=0\ atau\ 1-2sin\ x=0$

👉 $2cos\ x=0\Leftrightarrow cos\ x=0$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}$
👉 $1-2sin\ x=0\Leftrightarrow sin\ x=\frac{1}{2}$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{6},\ \frac{5\pi }{6}$
Jadi
⃟ $x=0\Rightarrow f(0)=2sin\ 0+cos\ (2.0)=0+1=1$
⃟ $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2+(-1)=1$
⃟ $x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{3\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2(-1)+(-1)=-3$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=2\pi \Rightarrow f(2\pi)=2sin\ (2\pi)+cos\ 2(2\pi)=2.0+1=1$
Jadi nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah (-3)

SBMPTN 2017

Jika $0<x<\frac{\pi }{2}$ dan $3tan^2x+tanx=3$, maka nilai $cos^2x-sin^2x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Berdasarkan trigonometri bahwa $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$
Misalkan $tanx=y$, maka persamaan $3tan^2x+tanx=3$ menjadi $3y^2+y-3=0$
$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.3.(-3)}}{2.3}=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$
Ambil $y=\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}$, karena $0<x<\frac{\pi }{2}$
$tan(2x)=\frac{2.tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}}{1-\left ( \frac{-1+ \sqrt{37}}{6} \right )^2}=\frac{\frac{-2+2\sqrt{37}}{6}}{\frac{-2+2\sqrt{37}}{36}}=\frac{6(-2+2\sqrt{37})}{(-2+2\sqrt{37})}=6$
Berdasarkan $tan(2x)=6$, maka dapat dibuat gambar segitiga siku-siku berikut

Berdasarkan gambar di samping maka $cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{37}}$

SBMPTN 2018 
Jika periode fungsi $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{\pi }{3}$, maka nilai minimum fungsi (f) adalah ...

Pembahasan

Peride dari $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{2\pi }{a}$, maka $\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=6$

 Jadi $f(x)=2cos(6x)+6$

Nilai minimum dari  $cos(6x)$ adalah -1, maka nilai minimum dari $f(x)=2cos(6x)+6$ adalah $2.(-1)+6=4$

Lihat juga: Perubahan grafik trigonomeri, Materi-Materi Trigonometri,

Soal Masuk Perguruan Tinggi Materi Trigonometri

Soal UMB 2015
Jika $\Theta$ adalah sudut di kuadran 4 yang memenuhi $tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$, maka $sin\ \Theta +cos\ \Theta = ...$
A. $1-\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
C. $-\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
D. $-(1-\sqrt{3})$
E. $2-\sqrt{3}$

Pembahasan
$\bigstar\ tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$
$\frac{sin^2\ \Theta}{cos^2\ \Theta } =4sin^2\ \Theta$
$\frac{1}{cos^2\ \Theta } =4,\ karena\ sin^2\ \Theta\neq 0$
$cos^2\ \Theta =\frac{1}{4}$
$cos\ \Theta =\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
$cos\ \Theta =\pm \frac{1}{2}$
$\bigstar\ Ambil\ cos\ \Theta =\frac{1}{2},\ karena\ \Theta\ di\ kuadran\ 4$
Untuk mencari $cos\ \Theta$ gunakan Pytagoras, dan hasilnya akan seperti berikut.

dari gambar di samping, di dapat $sin\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, tanda negatif karena berada nilai (sinus) di kuadran 4 adalah negatif. Jadi $sin\ \Theta +cos\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
Jawaban B

Soal UMB 2016
Pada gambar $\Delta ABC$ berikut. $\frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}=$

A. $\frac{a+b+c}{abc}$
B. $\frac{a+b+c}{2abc}$
C. $\frac{2(a+b+c)}{abc}$
D. $\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$
E. $\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$

Catatan Untuk Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, kita gunakan aturan (cosinus). Berdasarkan gambar di atas, maka aturan (cosinus)-nya
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ \alpha \Leftrightarrow cos\ \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ \beta \Leftrightarrow cos\ \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ \gamma \Leftrightarrow cos\ \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Pembahasan
$\bigstar\ \frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}$
$=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}+\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{b}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{c}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
Jawaban E

Soal SBMPTN Trigonometri

Soal 1. SBMPTN 2017
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\frac{2sin\ x.cos\ 2x}{cos\ x.sin\ 2x}-5tan\ x+5=0$, maka $tan\ (x_1+x_2)=...$
A. $-\frac{5}{7}$
B. $-\frac{5}{3}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{7}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
E. $\frac{5}{3}$

Pembahasan:
$\frac{2sin\ x.cos\ 2x}{cos\ x.sin\ 2x}-5tan\ x+5=0$
$\frac{2sin\ x.\left ( cos^2\ x-sin^2\ x \right )}{cos\ x.2sin\ x.cos\ x}-5tan\ x+5=0$
$\frac{2sin\ x.cos^2\ x}{2sin\ x.cos^2\ x}-\frac{2sin^3\ x}{2sin\ x.cos^2\ x}-5tan\ x+5=0$
$1-tan^2\ x-5tan\ x+5=0$
$-tan^2\ x-5tan\ x+6=0$
$tan^2\ x+5tan\ x-6=0$
Hasil di atas merupakan persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ x$, dimana $a=1, b=5$, dan $c=-6$. Jadi:
$tan\ \left ( x_1+x_2 \right )=\frac{tan\ x_1+tan\ x_2}{1-tan\ x_1.tan\ x_2}$

$=\frac{-\frac{b}{a}}{1-\frac{c}{a}}$
$=\frac{-\frac{5}{1}}{1-\frac{-6}{1}}$
$=-\frac{5}{7}$

Jawaban A