Hal yang lumrah dalam matematika dalam bidang trigonometri adalah sudut-sudut yang istimewa (00, 300, 450, 600, dan 900) dimana kita tahu nilai sinus, kosinus maupun tangennya. Nah bagaimana kalau sudut (360 dan 1080)...???
Apakah kita dapat menentukan nilai sinus, kosinus maupun tangen untuk sudut-sudut yang tadi tanpa menggunakan kalkulator..? Tentu bisa! berikut adalah langkah-langkah untuk mencari nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut. Silahkan disimak Sob!
Konsep dasar Trigonometri yang digunakan dalam perhitungan:
1. $sin (-a)=-sin (a)$
2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$
3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$
4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$
5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$
6. Persamaan kuadrat dengan (a) dan (b) sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$
7. $sin=\frac{depan}{miring}$
8. $cos=\frac{samping}{miring}$
9. $tan=\frac{depan}{samping}$
1. $sin (-a)=-sin (a)$
2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$
3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$
4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$
5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$
6. Persamaan kuadrat dengan (a) dan (b) sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$
7. $sin=\frac{depan}{miring}$
8. $cos=\frac{samping}{miring}$
9. $tan=\frac{depan}{samping}$
$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin (36^{o}+36^{o})-sin (36^{o}-36^{o})$
$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})-sin(0^{o})$
$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})$..........(1)
$2cos(108^{o}).sin(36^{o})= sin(108^{o}+36^{o})-sin (108^{o}-36^{o})$
$2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})-sin(72^{o})$..........(2)
Jumlahkan (1) dan (2), maka di dapat:
$2cos(36^{o}).sin(36^{o})+2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})$
$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(180^{o}-144^{o})$
$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(36^{o})$
$2cos(36^{o})+cos(108^{o})=1$
$cos(36^{o})+cos(108^{o})=\frac{1}{2}$ ..........(a)
$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left(\frac{36^{o}+108^{o}}{2}\right).cos\left(\frac{36^{o}-108^{o}}{2}\right) $
$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(-36^{o} \right )$
$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(36^{o} \right )$
$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2\left(-cos\left (180^{o}- 72^{o} \right ) \right ).cos\left(36^{o} \right )$
$\frac{1}{2}=-2cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$
$\frac{-1}{4}=cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$ ..........(b)
Dari (a) dan (b), dapat di bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $cos\left( 36^{0}\right )=x_1$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=x_2$
Persamaan kuadratnya menjadi
$x^{2}-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$
$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$
$4x^{2}-2x-1=0$ ........ Gunakan rumus ABC
$x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$
$x_{12}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4.4.(-1)} }{2.4}$
$x_{12}=\frac{2\pm\sqrt{20} }{8}$
$x_{12}=\frac{2\pm2\sqrt{5} }{8}$
$x_{12}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{5}$
Karena $cos\left( 36^{0}\right )$ bernilai positif dan $cos\left( 108^{0}\right )$ bernilai negatif, maka:
$cos\left( 36^{0}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}$
Untuk sudut $36^{o}$
$BC=\sqrt{8^{2}-(2+2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4+8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24+8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40-8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 36^{0}\right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left(36^{0} \right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{2+2\sqrt{5}}$
Untuk sudut $108^{o}$
$BC=\sqrt{8^{2}-(2-2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4-8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24-8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40+8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{2-2\sqrt{5}}$
