Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2017/2018 Materi Peluang dan Permutasi

[Soal 1]
Dari 36 siswa di sebuah kelas, 20 siswa suka olahraga renang, 15 siswa suka olahraga basket, dan 6 siswa tidak suka kedua-duanya. Bila dipilih seorang siswa secara acak, peluang siswa yang terpilih suka kedua jenis olahraga tersebut adalah ...
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{5}{18}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan
Peluang suatu kejadian (A) adalah hasil bagi antara kejadian (A) dengan banyaknya hasil yang mungkin terjadi [ruang sampel]
$p(x)=\frac{n(A)}{n(s)}$
Dimana, $p(x)=$ Peluang kejadian (A)

$n(A)=$ Banyak kejadian (A)

$n(s)=$ Banyak ruang sampel

Pembahasan
Banyak siswa suka renang + Banyak siswa suka olahraga basket + Banyak siswa yang tidak suka keduanya - Banyak siswa yang suka keduanya = Total siswa
atau bisa gunakan diagram venn seperti berikut.

$20+15+6-x=36$
$41-x=36$
$x=5$, dimana (x) merupakan banyak siswa yang suka basket dan renang. Maka
$p(x)=\frac{n(A)}{n(s)}=\frac{5}{36}$
Dimana, $p(x)=$ Peluang siswa yang suka basket dan renang

$n(A)=$ Banyak siswa yang suka basket dan renang

$n(s)=$ Banyak siswa semuanya

Jawaban B

[Soal 2]
Arkan akan membuat password untuk alamat emailnya yang terdiri dari 5 huruf kemudian diikuti oleh 2 angka yang berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata pada namanya, banyaknya password yang dibuat adalah ...
A. 1800
B. 2160
C. 2700
D. 4860
E. 5400

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan

• Permutasi merupakan pengelompokan/susunan unsur dengan memperhatikan urutan.
  Permutasi dengan sebagian unsur merupakan banyaknya permutasi/susunan (k) unsur dari (n) unsur yang berbeda, dapat ditulis dengan rumus $_{k}^{n}\textrm{p}=\frac{n!}{(n-k)!}; k\leq n$
• Permutasi unsur yang sama merupakan banyaknya permutasi (n) unsur memuat (k) unsur yang sama, (l) unsur yang sama, dan (m) unsur yang sama [(k+l+m\leq n)] dapat ditulis dengan rumus $p=\frac{n!}{k!\times l! \times m!}$
• "dan" artinya "kali $(\times)$"
  "atau" artinya "jumlah $(+)$"

Pembahasan
Untuk lebih mudah memahami, akan kita bagi dua pembahasannya.
Pertama akan kita cari susunan huruf-huruf
Kedua akan kita cari susunan angka
Perlu diingat bahwa susunan password adalah susunan 5 huruf dan susunan 2 angka, artinya tidak ada angka diantara huruf maupun huruf diantara angka.

• Pasword terdiri dari 5 huruf dari huruf "A,R,K,A,N". Ini berarti banyak susunan huruf tersebut merupakan banyaknya password yang dapat dibentuk. Oleh karena itu, gunakan Permutasi unsur yang sama dengan susunan 5 unsur memuat 2 unsur yang sama [unsur yang sama adalah huruf "A" sebanyak 2 buah], maka
  $p=\frac{5!}{2!}$
  
  $=\frac{5\times 4 \times 3 \times 2!}{2!}$
  $=5\times 4 \times 3 = 90$
• Password terdiri dari 2 angka dari angka "0,1,2,3,4,5,6,7,8,9". Ini berarti banyak susunan 2 unsur dari 10 unsur yang ada, maka
  $_{2}^{10}\textrm{p}=\frac{10!}{(10-2)!}$
  $=\frac{10\times 9\times 8!}{(8!)!}$
  $=10\times 9=90$

Maka, banyaknya susunan password yang dapat dibentuk adalah $60\times 90=5.400$
Jawaban E
Lihat soal peluang lainnya

Pembahasan Soal UN SMA Tapel 2017/2018 Materi Peluang

[Soal 1]
Dari angka-angka 2,3,5,6,8,9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka berlainan. Banyak bilangan lebih besar dari 500 yang bisa dibuat adalah ...
A. 120
B. 80
C. 64
D. 60
E. 40

Pembahasan
Berdasarkan soal tersebut dapat dibuat 3 kolom seperti di bawah ini karena bilangan yang kita susun terdiri dari 3 angka.

• Kolom pertama sebagai angka "ratusan" dari bilangan tersebut. Pada kolom pertama terdapat angka 4, karena bilangan yang mungkin untuk angka "ratusan" adalah 5,6,8, dan 9
• Kolom kedua sebagai angka "puluhan" dari bilangan tersebut. Pada kolom kedua terdapat angka 5, karena bilangan yang mungkin untuk angka "puluhan" adalah banyak angka semuanya dikurangi 1 [1 angka sudah digunakan dalam "ratusan"]
• Kolom ketiga sebagai angka "satuan" dari bilangan tersebut. Pada kolom ketiga terdapat angka 4, karena bilangan yang mungkin untuk angka "satuan" adalah banyak angka semuanya dikurangi 2 [1 angka digunakan sebagai "ratusan" dan 1 angka digunakan sebagai "puluhan"]

Maka banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah $4\times 5\times 4= 80$
Jawaban B

[Soal 2]
Dalam suatu kelompok diskusi yang beranggotakan 4 pria dan 6 wanita, akan dipilih 3 orang secara acak untuk mempresentasikan hasil diskusinya. Banyaknya cara memanggil 1 pria dan 2 wanita adalah ...
A. 12
B. 19
C. 34
D. 60
E. 120

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan

• Kombinasi merupakan susunan unsur-unsur yang tidak memperhatikan urutan. Kombinasi (k) unsur dari (n) unsur yang berbeda adalah suatu pilihan (k) unsur tanpa memperhatikan urutan. Kombinasi (k) unsur dari (n) unsur yang berbeda dilambangkan dengan $_{k}^{n}\textrm{C}$, dimana
  $_{k}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-k)!}$
• $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ... \times 3\times 2\times 1$

Pembahasan
Akan dipanggil 1 pria dan 2 wanita, artinya akan dipilih secara acak 1 pria dari 4 pria yang ada dan 2 wanita dari 6 wanita yang ada. Dalam hal ini, pemilihan 1 pria dan 2 wanita tersebut tidak memperhatikan urutan [yang penting dipilih 1 pria dan 2 wanita, yang mana saja boleh], maka gunakan rumus kombinasi.
Maka, 1 pria dan 2 wanita $= _{1}^{4}\textrm{C}\times_{2}^{6}\textrm{C}=\frac{4!}{(4-1)!\times1!}\times\frac{6!}{(6-2)!\times2!}$
$=\frac{4\times3!}{(3)!\times1}\times\frac{6\times5\times4!}{(4)!\times2\times1}$
$=\frac{4}{1}\times\frac{6\times5}{2\times1}$
$=4\times15=60$
Jawaban D