Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

Berikut merupakan soal-soal persiapan SBMPTN yang dapat kalian pelajari mengenai materi logaritma.

1. Penyelesaian dari pertidaksamaan $^3log\left | 6-3x \right |>1$ adalah ...

Pembahasan

$^3log\left | 6-3x \right |>1$

$^3log\left | 6-3x \right |>^3log3$

$\left | 6-3x \right |>3$

$(6-3x)^2>3^2$

$36-36x+9x^2>9$

$4-4x+x^2>1$

$x^2-4x+3>0$

$(x-3)(x-1)>0$

$x=3\ atau\ x=1$

$Jadi\ x<1\ atau\ x>3$

2. Jika $^3log2=a,\ ^2log5=b$, maka nilai $\frac{3+ab}{2+3a}$ sama dengan ...

Pembahasan

$\frac{3+ab}{2+3a}=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
             $=\frac{3+^3log2.^2log5}{2+3.^3log2}$
             $=\frac{^3log3^3+^3log5}{^3log3^2+^3log2^3}$
             $=\frac{^3log27.5}{^3log9.8}$
             $=\frac{^3log135}{^3log72}$
             $=^{72}log135$

3. Himpunan nilai-nilai (x) yang memenuhi pertidaksamaan $^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$, adalah ...

Pembahasan

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-1$

$^2log|x-2|<\ ^2log|3x-1|-^2log2$

$^2log|x-2|<\ ^2log\frac{|3x-1|}{2}$

$|x-2|<\frac{|3x-1|}{2}$

$x^2-4x+4<\frac{9x^2-6x+1}{4}$

$4x^2-16x+16<9x^2-6x+1$

$5x^2+10x-15>0$

$(x-1)(x+3)>0$

$x=1\ atau\ x=-3$

$Jadi\ x<-3\ atau\ x>1$

4. Jika diketahui $(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$ dan $a>1$, maka hubungan (a) dan (x) adalah ...

Pembahasan
$(^alog\ x)^2-4(^alog\ x) +3\geq 0$, misalkan $y=^alog\ x$ maka
$y^2-4y+3\geq 0$
$(y-3)(y-1)\geq 0$
$y=3\ atau\ y=1$, karena pertidaksamaan $[\geq]$ maka
$y\leq 1\ atau\ y\geq 3$
$y\geq 3\Rightarrow\  ^alog\ x\geq 3\Leftrightarrow x\geq a^3$
$y\leq 1\Rightarrow\  ^alog\ x\leq 1\Leftrightarrow x\leq a^1$

Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

SBMPTN 2018
Jika $2^4logx-^4log(4x+3)=-1$, maka $^2logx=...$

Pembahasan
$2^4logx-^4log(4x+3)=-1$
$^4logx^2-^4log(4x+3)=^4log4^{-1}$
$^4log\left ( \frac{x^2}{4x+3} \right )=^4log\left ( \frac{1}{4} \right )$
Maka $\frac{x^2}{4x+3}=\frac{1}{4}$
          $4x^2=4x+3$
          $4x^2-4x-3=0$
          $(2x-3)(2x+1)=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\ atau\ x=\frac{-1}{2} [Tidak\ Memenuhi]$
$x=\frac{3}{2}\rightarrow ^2logx=^2log\left ( \frac{3}{2} \right )=^2log3-^2log2=^2log3-1$

SBMPTN 2018
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$, maka $\alpha +\beta =...$

Pembahasan
$^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$
$^xlog\left ( \frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}} \right )=^xlogx$
$\frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}}=x$
$3=2x^2-4x+4$
$2x^2-4x+1=0\rightarrow \alpha +\beta =-\frac{-4}{2}=2$

SBMPTN 2015
Diketahui $^plog2=9$ dan $^qlog4=8$. Jika $s=p^3$ dan $t=q^2$, maka nilai $^tlogs$ adalah ...

Pembahasan
Catatan yang perlu di ingat: $^alogb=c\Leftrightarrow b=a^c$
🍀 $^plog2=9\leftrightarrow 2=p^9\leftrightarrow p=2^{\frac{1}{9}}\leftrightarrow p^3=t=2^\frac{1}{3}$
🍀 $^qlog4=8\leftrightarrow 4=q^8\leftrightarrow q=4^{\frac{1}{8}}\leftrightarrow q^2=s=4^{\frac{1}{4}}$
Jadi
$^tlogs\leftrightarrow ^{4^{\frac{1}{4}}}log2^{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}\ ^4log2=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ ^2log2=\frac{2}{3}$

SBMPTN 2014
Jika $^ploga=2$ dan $^qlog8p=2$, maka $^{2p}log\frac{pq^2}{a}=...$

Pembahasan
Berdasarkan Soal:
🍀 $^ploga=2\leftrightarrow a=p^2$
🍀 $^qlog8p=2\leftrightarrow 8p=q^2$
Jadi
$^{2p}log\frac{pq^2}{a}=^{2p}log\frac{p(8p)}{p^2}=^{2p}log8=^{2p}log2^3=3\ ^{2p}log2=\frac{3}{^{2}log2p}$

SBMPTN 2014
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalan penyelesaian persamaan $(^2logx)^2+2logx=6$ maka $x_1x_2=...$

Pembahasan
$(^2logx)^2+2logx=6$, misalkan $2logx=y$, maka
$y^2+y=6$
$y^2+y-6=0$
$y_1+y_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$
$y_1+y_2=2logx_1+2logx_2=2logx_1.x_2$
Maka $2logx_1.x_2=-1\Leftrightarrow x_1.x_2=2^{-1}=\frac{1}{2}$

SOAL PERSAMAAN KUADRAT DAN LOGARITMA SBMPTN 2015 SAINTEK

Soal:

Jika x₁,x₂ adalah akar-akar 25^x - 2.5^{x + 1} - 5^x + a = 0, dimana x₁ + x₂ = 2.⁵log 2 + 1. Maka a = ...

Penyelesaian:

Konsep dasar yang digunakan yaitu persamaan kuadrat
ax² + bx + c = 0, maka x₁.x₂ =c/a

Maka,(5^x)² - 5^x(2.5 - 1) + 4 = 0
Misalkan p = 5^x, maka p² - p(9) + a = 0
p₁.p₂ = a/1 = a
5^x₁.5^x₂ = a
5^{x₁ + x₁} = a
5^{2.5log 2 + 1} = a
5^{5log 22 + 1} = a
5^{5log 22}.5 = a
2².5 = a, jadi a = 20