Rumus Lengkap Turunan Trigonometri

Rumus turunan fungsi trigonometri

$y'$ merupakan turunan pertama dari $y$, maka 

$\bigstar\ y=sin\ x \Rightarrow y'=cos\ x$ 

$\bigstar\ y=cos\ x \Rightarrow y'=-sin\ x$ 

$\bigstar\ y=tan\ x \Rightarrow y'=sec^2\ x$

$\bigstar\ y=cotan\ x \Rightarrow y'=-cosec^2\ x$

$\bigstar\ y=sec\ x \Rightarrow y'=sec\ x.tan\ x$

$\bigstar\ y=cosec\ x \Rightarrow y'=-cosec\ x.cot\ x$

Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri

Misalkan $y=sin\ (ax+b)$, maka tentukan turunannya

Penjelasan: Untuk kasus ini kita akan menggunakan turunan berantai, dimana jika $y=sin\ u$ maka $y'=(cos\ u).(u')$.

Misalkan $u=ax+b \Rightarrow u'=a$, dimana $u'$ merupakan turunan dari $u$. Maka $y=sin\ (ax+b)\Rightarrow y=sin\ u \Rightarrow y'=(cos\ u).(u')=cos\ (ax+b).a=a.cos\ (ax+b)$

Jadi $y=sin\ (ax+b)=a.cos\ (ax+b)$

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut:

$\bigstar\ y=sin\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.cos\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=cos\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.sin\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=tan\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cotan\ (ax+b) \Rightarrow y'=-acosec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=sec\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cosec\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.cosec\ (ax+b).cot\ (ax+b)$

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari $y=2cos\ x$

Pembahasan: Ingat kembali bahwa $y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$

Jadi: $y=2cos\ x \Rightarrow y'=2(-sin\ x)=-2sin\ x$

2. Tentukan turunan dari $y=tan\ (2\theta-3)$

Pembahasan: Misalkan $u=(2\theta-3) \Leftrightarrow u'=2$

Jadi: $y=tan\ u$

$y'=u'.sec^2\ u$

$y'=2.sec^2\ (2\theta-3)$

Menentukan Titik Belok dari Turunan Pertama dan Turunan Kedua

Penggunaan turunan untuk menggambar grafik adalah untuk menentukan titik stasioner dan titik belok. Namun pada pembahasan sekarang akan di bahas titik belok. Sebelum kita menentukan cara titik belok, terlebih dahulu kita pengaruh turunan pertama dan kedua terhadap grafik.

$\bigstar$ Turunan Pertama

Misalkan (f) kontinu pada interval (I) dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari (I).

1. Jika $f'(x)>0$ untuk semua titik-dalam (I), maka (f) naik pada (I)

2. Jika $f'(x)<0$ untuk semua titik-dalam (I), maka (f) turun pada (I)

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, garis $p$ merupakan garis singgung grafik. Perlu di ingat bahwa gradien garis singgung merupakan turunan dari grafik. Garis $p$ miring ke kanan maka mempunyai gradien positif [$f'(x)>0$]. Sedangkan Garis $t$ miring ke kiri maka mempunyai gradien negatif [$f'(x)<0$]

Dapat dilihat bahwa, pada rentang yang mempunyai garis singgung bergradien positif grafik naik, sendangkan pada rentang yang mempunyai garis singgung bergradien negatif grafik turun

$\bigstar$ Turunan Kedua

Misalkan (f) kontinu pada interval (I) dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari (I)

1. Jika $f''(x)>0$ untuk semua titik-dalam (I), maka $f(x)$ cekung ke atas

2. Jika $f''(x)<0$ untuk semua titik-dalam (I), maka $f(x)$ cekung ke atas

Selain untuk melihat kecekungan dari grafik, kegunaan turunan kedua adalah untuk menentukan titik belok dari suatu grafik. 

Menentukan titik belok.

Misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang terdeferensialkan dua kali pada $x=p$, dan $(f''(p)=0)$.

1. Titik $(p,f(p))$ merupakan titik belok jika $f''(x)<0$ untuk (x<a) fungsi (f(x)) cekung ke bawah dan $f''(x)>0$ untuk (x>a) fungsi (f(x)) cekung ke atas

2. Titik $(p,f(p))$ merupakan titik belok jika $f''(x)>0$ untuk (x<a) fungsi (f(x)) cekung ke atas dan $f''(x)<0$ untuk (x>a) fungsi (f(x)) cekung ke bawah.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di samping, titik merupakan titik belok, karena di sebelah kiri titik D kurva cekung ke bawah dan di sebelah kanan titik D kurva cekung ke atas. Atau sebaliknya, Titik belok terjadi saat di sebelah kiri titik tersebut kurva cekung ke atas dan di sebelah kanan titik tersebut kurva cekung ke bawah.

Titik D di sebut titik belok juga bisa kita uji menggunakan turunan pertama. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa titik D adalah titik belok karena di sebelah kiri dan kanan titik D adalah fungsi naik. Titik belok juga terjadi saat di sebelah kiri dan kanan titik tersebut adalah fungsi turun.
Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh berikut.
Soal 1. Tentukan titik belok dan titik stasioner dari fungsi berikut.
$y=x^4-2x^3$
Jawab.

$y=f(x)=x^4-2x^3$
$y'=f'(x)=4x^3-6x^2$
$0=4x^3-6x^2$
$0=2x^3-3x^2$
$0=x^2(2x-3)$
$x=0\ atau\ x=\frac{3}{2}$
Untuk uji tanda turunan pertama perhatikan gambar di bawah!

Dari Uji titik tersebut dapat dilihat bahwa titik stasioner terjadi saat $x=0$ dan $x=\frac{3}{2}$. Pada saat $x=0$ sekaligus sebagai titik belok karena di sebelah kiri maupun kanan titik tersebut disebut sebagai fungsi turun.

Dari turunan pertama di atas, di dapat turunan keduanya
$y''=f''(x)=12x^2-12x$
$0=12x^2-12x$
$0=12x(x-1)$
$x=0\ atau\ x=1$
Untuk uji tanda turunan kedua perhatikan gambar di bawah!

Dari uji titik tersebut, terlihat bahwa titik belok ada pada saat $x=0$ dan $x=1$ karena di sebelah kiri maupun kanan titik tersebut berbeda arah kecekungannya.
Berikut adalah gambar dari grafik di atas.

CATATAN PENTING MATERI TURUNAN

Kembali lagi Sob. Kali ini saya mau posting materi turunan, namun disini saya anggap Sobat sekalian sudah mahir untuk menurunkan suatu fungsi. Saya tidak akan membahas bagaimana cara menurunkan suatu fungsi pada postingan kali ini, tetapi saya ingin membuat catatan penting mengenai turunan. Mungkin ini bisa dibilang aplikasi dari turunan. Silahkan langsung simak Sob.

Keterangan:

• $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$
• $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$

Gradien garis singgung (m)

• Gradien garis singgung pada kurva $y = f(x)$ adalah $m = y' = f '(x)$

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

• $f(x)\ naik\ \rightarrow f'(x)>0$
• $f(x)\ turun\ \rightarrow f'(x)<0$

Mencari nilai minimum / maksimum $f(x)$

• $f(x)$ akan maksimum / minimum jika $f '(x) = 0$

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua, sehingga

• Jika $f'(x_1)=0$, maka titik $(x_1,f(x_1))\rightarrow$ titik stasioner/kritis
• Jika $f'(x_1)=0$ dan $f'(x_1)>0$, maka titik $(x_1,f(x_1))\rightarrow$ titik balik minimum
• Jika $f'(x_1)=0$ dan $f'(x_1)<0$, maka titik $(x_1,f(x_1))\rightarrow$ titik balik maksimum


• Jika $f''(x_1)=0$, maka titik $(x_1,f(x_1))\rightarrow$ titik belok fungsi

Definisi : Fungsi (f) dikatakan kontinu di $c ∊ [a,b]$ jika dipenuhi ketiga hal berikut.

• Fungsi (f) terdefinisi di (c), yaitu $f(c)$ ada
• $\lim_{x\rightarrow c} f(x)$ ada
• $\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)$

Jarak (s(t)), Kecepatan (v(t)), Percepatan (a(t))

• $v(t) = s'(t)$ → Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak dalam t
• $a(t) = v'(t) = s''(t)$ → Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan