Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

❤ Persamaan trigonometri sederhana bentuk $f(x)=c$, tentukan dulu sudut yang menghasilkan perbandingan trigonometri pada ruas kanan dengan cara:

〉Jika $sin\ x=sin\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=(180^o-\alpha )+K.360^o$
〉Jika $cos\ x=cos\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=-\alpha +k.360^o$
〉Jika $tan\ x=tan\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.180^o$
dimana $k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2sin\ x=1$ untuk $0^o\leq x\leq 360^o$.
Pembahasan

$2sin\ x=1$

$sin\ x=\frac{1}{2}$

$sin\ x=sin\ 30^o\Leftrightarrow \alpha =30^o$

a. $x=\alpha +k.360^o$
    $x=30^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=30^o+(-1).360^o=-330^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=30^o+0.360^o=30^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=30^o+1.360^o=390^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-30^o )+k.360^o$
    $x=150^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=150^o+(-1).360^o=-210^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=150^o+(0).360^o=150^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=150^o+1.360^o=510^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 30^o,150^o\right \}$

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos\ (2x-60^o)-1=0$ untuk $0^o\leq x\leq 180^o$ adalah ...
Pembahasan

$2cos\ (2x-60^o)-1=0$

$2cos\ (2x-60^o)=1$

$cos\ (2x-60^o)=\frac{1}{2}$

$cos\ (2x-60^o)=cos\ 60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o$

a. $2x-60^o=\alpha +k.360^o$

    $2x-60^o=60^o +k.360^o$

    $2x=120^o +k.360^o$
    $x=60^o +k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=60^o +(-1).180^o=-120^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=60^o +0.180^o=60^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=60^o +1.180^o=240^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $2x-60^o=-\alpha +k.360^o$
    $2x-60^o=-60^o +k.360^o$
    $2x=k.360^o$
    $x=k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=(-1).180^o=-180^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=0.180^o=0^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=1.180^o=180^o$ [memenuhi]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,60^o,180^o \right \}$

❤ Persamaan trigonometri dalam bentuk $Acos\ x+Bsin\ x=c$.

$Acos\ x+Bsin\ x=c\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=c$

Dimana $K=\sqrt{A^2+B^2}$ dan $\beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$
Pembuktian
$Acos\ x+Bsin\ x=Kcos(x-\beta )$
                         $=K(cos\ x.cos\ \beta+sin\ x.sin\ \beta )$
                         $=K.cos\ x.cos\ \beta+K.sin\ x.sin\ \beta$
                         $=K.cos\ \beta.cos\ x+K.sin\ \beta.sin\ x$
Maka
$K.cos\ \beta=A\Leftrightarrow K^2.cos^2\ \beta=A^2$ .... [1]
$K.sin\ \beta=B\Leftrightarrow K^2.sin^2\ \beta=B^2$ .... [2]
Jumlahkan persamaan [1] dan [2], maka

$K^2.cos^2\ \beta+K^2.sin^2\ \beta=A^2+B^2$

$K^2(cos^2\ \beta+sin^2\ \beta)=A^2+B^2$

$K^2=A^2+B^2 \Leftrightarrow K=\sqrt{A^2+B^2}$

Jika $K.sin\ \beta=B$ dibagi dengan $K.cos\ \beta=A$, maka

$\frac{K.sin\ \beta }{K.cos\ \beta}=\frac{B}{A}$

$tan\ \beta =\frac{B}{A}\Leftrightarrow \beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos\ x-sin\ x=1$, jika $0^o\leq x\leq 360^o$
Pembahasan

$cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=1$

$K=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\beta=arc\ tan\ \frac{-1}{1}$

$\beta=arc\ tan\ (-1)\Leftrightarrow \beta =-45^o$

Maka $cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}cos(x+45^o )=1$

$\sqrt{2}cos(x+45^o )=1$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos(x+45^o )=cos\ 45^o\Leftrightarrow \alpha =45^o$

a. $x+45^o=\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=45^o +k.360^o$

    $x=k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=(-1).360^o=-360^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=0.360^o=0^o$ [memenuhi]

》$k=1\rightarrow x=1.360^o=360^o$ [memenuhi] 

b. $x+45^o=-\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=-45^o +k.360^o$

    $x=-90^o +k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=-90^o +(-1).360^o=-450^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=-90^o +0.360^o=-90^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=1\rightarrow x=-90^o +1.360^o=270^o$ [memenuhi]

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,270^o,360^o \right \}$

KUMPULAN RUMUS LENGKAP TRIGONOMETRI

Berikut merupakan kumpulan rumus lengkap trigonometri. Untuk penggunaan rumus ini akan saya sajikan dalam pembahasan soal-soal SBMPTN.

IDENTITAS TRIGONOMETRI
$sin^2A+cos^2A=1$
$tan^2A+1=sec^2A$
$1+cotan^2A=cosec^2A$

RUMUS JUMAH DAN SELISIH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin(A+B)=sinA.CosB+cosA.sinB$
$sin(A-B)=sinA.CosB-cosA.sinB$
$cos(A+B)=cosA.cosB-sinA.sinB$
$cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB$
$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}$
$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}$

RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI
$2sinA.cosB=sin(A+B)+sin(A-B)$
$2cosA.sinB=sin(A+B)-sin(A-B)$
$2cosA.cosB=cos(A+B)+cos(A-B)$
$2sinA.sinB=-cos(A+B)+cos(A-B)$

  RUMUS JUMLAH DAN SELISIH TRIGONOMETRI

  $sinA+sinB=2sin\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $sinA-sinB=2cos\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA+cosB=2cos\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA-cosB=-2sin\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $tanA+tanB=\frac{2sin(A+B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

  $tanA-tanB=\frac{2sin(A-B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

RUMUS SUDUT RANGKAP DUA DAN TIGA TRIGONOMETRI
$sin2A=2sinA.cosA$
$cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2-1$
$tan2A=\frac{2tanA}{1-tan^2A}=\frac{2cotA}{cot^2A-1}=\frac{2}{cotA-tanA}$
$cotan2A=\frac{cotan^2A-1}{2.cotanA}$
$sin3A=3sinA-4sin^3A$
$cos3A=4cos^3A-3cosA$
$tan\ 3A=\frac{3tan\ A-tan^3\ A}{1-3tan^2\ A}$
$cot\ 3A=\frac{cot^3\ A-cot\ A}{3tan^2\ A-1}$

RUMUS SETENGAH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$
$cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$
$tan\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}=\frac{sinA}{1+cosA}=\frac{1-cosA}{sinA}$

RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI
Perhatikan gambari dibawah ini

Berdasarkan gambar di samping
❤ Aturan sinus
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
❤ Aturan cosinus
⃟ $a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$
⃟ $b^2=a^2+c^2-2ac.cosB$
⃟ $c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
❤ Aturan luas segitiga
$L\Delta ABC=\frac{1}{2}ab.cosC=\frac{1}{2}ac.cosB=\frac{1}{2}bc.cosA$
$L\Delta ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, dengan $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

RUMUS GANJIL DAN GENAP TRIGONOMETRI
$sin(-A)=-sinA$
$cos(-A)=cosA$
$tan(-A)=-tanA$

Lihat juga: Perubahan Grafik Fungsi Trigonometri

PERUBAHAN GRAFIK TRIGONOMETRI

Grafik $sin\ x,\ cos\ x,\ atau\ tan\ x$ sudah lumrah kita kenal dan ingat. Akan tetapi bagaimana kalau kita diminta untuk menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45)+1$?. Bagaimana langkah kita menggambar fungsi tersebut? Apakah kita dapat memperoleh grafik tersebut berdasarkan grafik dasar $sin\ x$?. Dalam artikel ini akan dibahas bagaimana cara kita memperoleh grafik tersebut. Sebelum kita menjawab soal tersebut, ada beberapa hal yang harus kalian pahami.

Diketahui fungsi:

$y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C$

$y=Acos\ B(x+\alpha^o)+C$

$y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$

❤ Perubahan (A) mempengaruhi amplitudo suatu fungsi. Amplitudo didefinisikan $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}$.

⃝ Jika (A) isi tanda negatif $(-)$, maka grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C,\ y=Acos\ B(x+\alpha^o )+C$ atau $y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$ dicerminkan terhadap sumbu-(x). Lihat gambar di bawah sebagai contoh.

❤ Perubahan (B) mempengaruhi periode. Untuk $(sin\ Bx)\ atau\ (cos\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{360^o}{B}$ artinya, sejauh $\frac{360^o}{B}$ menghasilkan satu gelombang. Sedangkan untuk $(tan\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{180^o}{B}$. Jika (B) negatif $(-)$, maka lihat kembali materi grafik fungsi genap dan fungsi ganjil.

❤ Perubahan $\alpha^o$ mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x)$ searah sumbu -(x) yaitu ke kiri maupun ke kanan. Jika $(+\alpha^o)$ grafik akan digeser ke kiri, sedangkan $(-\alpha^o)$  grafik akan digeser ke kanan.

❤ Perubahan (C) mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o)$ atau $y=Acos\ B(x+\alpha^o)$ searah sumbu-(y) yaitu ke atas maupun ke bawah. Jika $(-C)$ grafik di geser ke bawah sejauh (C) sedangkan jika $(+C)$ grafik di geser ke atas sejauh (C).

 

⃞ Sebagai contoh, kita akan menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$

Langkah-langkah menggambar grafik di atas sebagai berikut:

1. Gambar dulu grafik $y=2sin\ x$ dengan amplitudonya 2, di dapat dari $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=\frac{2-(-2)}{2}=2$. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

2. Gambar grafik $y=2sin\ 2x$ dengan periodenya $periode=\frac{360^o}{2}=180^o$ artinya sejauh (180^o) menghasilkan satu gelombang. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

3. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)$. Dengan penambahan sudut $90^o\Rightarrow y=2sin\ 2(x+45^o)=2sin\ (2x+90^o)$ maka grafik pada langkah-2 di geser ke kiri sejauh (45^o). Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

4. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$. Untuk menggambar grafik ini tinggal menggeser grafik pada langkah ke-3 ke atas sejauh 1 satuan. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

Untuk menggambar grafik trigonometri yang lain, langkah-langkahnya juga sama seperti di atas.
Lihat juga: Soal UN Trigonometri dan Soal SBMPTN berkaitan Trigonometri