Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

❤❤PERMUTASI❤❤
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan/memilih unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutan $(AB\neq BA)$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang sebagai perangkat kelas yaitu ketua, wakil, sekretaris dan bendehara. Dalam soal ini memperhatikan urutan, karena misalkan si A sebagai ketua, si B sebagai wakil, si C sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara berbeda dengan si C sebagai ketua, si A sebagai wakil, si B sebagai sekretaris dan si D sebagai bendehara. Biarpun orang-orang yang di pilih sama yaitu si A,B,C,D tetapi keempat orang itu menempati posisi yang berbeda maka dapat dikatakan sebagai memperhatikan urutan. 

Jenis-jenis permutasi

1. Permutasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada.

     $P(n,n)=_{n}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-n)!}=n!$

2. Permutasi (r) unsur yang di ambi dari (n) unsur yang ada, dengan $r<n$

    $P(n,r)=_{r}^{n}\textrm{P}=\frac{n!}{(n-r)!}$

3. Permutasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada, dimana dari (n) unsur tersebut terdapat (m) unsur yang sama, (k) unsur yang sama dan (l) unsur yang sama

    $\frac{n!}{(m!.k!.l!)}$ 

4. Permutasi siklis (melingkar) dari (n) unsur 

    $(n-1)!$
Contoh soal
1. Terdapat 5 orang yang akan duduk berjejer untuk mengantre. Berapa banyak cara susunan antrean tersebut?
Pembahasan
Misalkan orang yang akan mengantre adalah si A,B,C,D,E. Posisi tempat duduk A,B,C,D,E berbeda dengan B,A,C,D,E. Maka dalam soal ini menggunakan permutasi 5 unsur dari 5 unsur yang ada. Maka $P(5,5)=_{5}^{5}\textrm{P}=\frac{5!}{(5-5)!}=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\ cara$
2. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa akan dipilih 4 orang untuk menjadi ketua kelas,  wakil, sekretaris dan bendehara. Tentukan banyak cara memilih ke empat orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat digunakan permutasi 4 unsur dari 20 unsur yang ada, maka  $P(20,4)=_{4}^{20}\textrm{P}=\frac{20!}{(20-4)!}=\frac{20\times 19\times18\times17\times16!}{16!}=20\times 19\times18\times17$.
3. Banyaknya cara menyusun kata MATEMATIKA adalah
Pembahasan
MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf, ada 2 huruf T, 2 huruf M, 3 huruf A. Maka banyak cara menyusun kata tersebut adalah $\frac{10!}{(2!.2!.3!)}=10.9.2.7.5.3.2.1$
4. Lima orang dalam keluarga akan duduk melingkar untuk makan malam bersama. Berapa banyak cara susunan duduk kelima orang tersebut.
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan permutasi siklis [melingkar] dari (5) unsur, maka $(5-1)!=4!$

❤❤KOMBINASI❤❤
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan $AB=BA$. Misalkan dalam suatu kelas akan dipilih 4 orang untuk mewaliki perlombaan matematika. Dalam soal ini tidak memperhatikan urutan karena yang dipilih hanya 4 orang misalkan si A,B,C,D dan tidak ada perbedaan dalam posisi, jabatan atau yang lainnya.
Jenis-jenis kombinasi
1. Kombinasi (n) unsur yang di ambil dari (n) unsur yang ada.
     $C(n,n)=_{n}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-n)!.n!}=1$
2. Kombinasi (k) unsur yang di ambi dari (n) unsur yang ada, dengan $k<n$
     $C(n,k)=_{k}^{n}\textrm{C}=\frac{n!}{(n-k)!.k!}=1$
Contoh soal
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 20 orang, akan dipilih 3 orang untuk mewaliki lomba matematika. Banyak cara memilih 3 orang tersebut adalah...
Pembahasan
Dari soal maka dapat dicari dengan kombinasi (3) unsur yang di ambi dari (20) unsur yang ada. Maka $C(20,3)=_{3}^{20}\textrm{C}=\frac{20!}{(20-3)!.3!}=\frac{20.19.18.17!}{17!.3.2.1}=20.19.3$
Lihat juga: Soal peluang, Distribusi Normal, Peluang Binomial

SOAL DAN PEMBAHASAN PELUANG SMA

1. Dari (9) orang calon pengurus RT akan dipilih (1) orang ketua, (1) orang wakil ketua, dan (1) orang bendehara. Banyak kemungkinan susunan pengurus RT adalah ...

Pembahasan

Karena di pilih 3 orang yang menduduki jabatan berbeda-beda [memperhatikan urutan], maka $_{3}^{9}\textrm{P}=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9.8.7.6!}{6!}=9.8.7=504$

2. Suatu reuni dihadiri (30) orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi adalah ...

Pembahasan

Dalam berjabat tangan dilakukan oleh (2) orang, jadi setiap orang dapat melakukan jabat tangan sekali. Ini sama artinya kita memilih dua orang untuk melakukan jabat tangan dari 30 orang. Karena dalam jabat tangan tidak memperhatikan urutan, kita cuma memilih 2 orang dari 30 orang maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah $_{2}^{30}\textrm{C}=\frac{30!}{(30-2)!.2!}=\frac{30.29.28!}{28!.2.1}=15.29=435$.

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10 adalah ...

Pembahasan

Dalam percobaan melempar dua buah dadu dapat di cari ruang sampelnya [S] sebagai berikut

$S={(1,1)(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2), ...,(3,1),(3,2),...,(6,6)}\rightarrow n(S)=6^2=36$

Misalkan A adalah himpunan munculnya mata dadu berjumlah 4 dan B adalah himpunan mata dadu berjumlah 10, maka

$A={(1,3),(2,2),(3,1)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

$B={(4,6),(5,5),(6,4)}\rightarrow n(B)=3\rightarrow P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

Karena yang di tanya peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10, maka

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

4. Tiga mata uang logam dilempar undi sebanyak 64 kali. Frekuensi harapan muncul dua gambar dan satu angka adalah ...

Pembahasan
Dalam percobaan melempar 3 buah uang logam dapat dicari ruang sampelnya [S] sebagai berikut
$S={(AAA),(AAG),(AGA),(GAA),....(GGG)}\rightarrow n(S)=2^3=8$
Misalkan A adalah himpunan muncul dua gambar dan satu angka, maka
$A={(GGA),(GAG),(AGG)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow p(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}$
Jadi Frekwensi harapan dengan (N=64) adalah
$F_H(A)=P(A).N=\frac{3}{8}.64=3.8=24$

5. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika di ambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah ...

Pembahasan
Pengambilan pertama satu baju putih, maka peluangnya adalah
$P(P)=\frac{n(P)}{n(S)}=\frac{5}{8}$
Pengambilan kedua satu baju biru, karena di soal dinyatakan tanpa pengambilan maka $n(S)=7$ [karena sudah di ambil 1 baju putih], maka peluang pada pengambilan kedua adalah ...
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{7}$
Jadi peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah
$P(P\cup B)=\frac{5}{8}.\frac{3}{7}$

Lihat Juga: Peluang Kejadian Saling Bebas Stokastik

PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK

❤❤ PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK❤❤

Kejadian saling bebas stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. $K_L$ adalah kejadian munculnya sisi gambar pada uang logam dan $K_D$ adalah kejadian munculnya mata dadu genap. Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga $K_L$ dan $K_D$ disebut kejadian saling bebas stokastik. 

Peluang terjadinya $K_L$ dan $K_D$ ditulis $(K_L\cap K_D)$ untuk $K_L$ dan $K_D$ saling bebas stokastik adalah $(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Kejadian $A_1,A_2,...,A_k$ adalah kejadian-kejadian saling bebas stokastik secara lengkap jika
$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

Contoh soal.
Pada percobaan  melempar 2 dadu, $A$ adalah kejadian dadu pertama muncul mata genap, $B$ adalah kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3. Berapa peluang kejadian $A$ dan $B$.
Jawab
(A=) Kejadian dadu pertama muncul mata genap
👉$A=\left \{ 2,4,6 \right \}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
(B=) Kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3
👉$B=\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow n(B)=2\rightarrow p(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
👉 Maka, $P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
 
⃟ Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Peluang pengambilan dengan pengembalian dapat di pandang sebagai kejadian yang saling bebas.
$(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Contoh soal.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Berapa peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih.
Jawab
Misalkan (A) adalah kejadian munculnya bola merah pada pelemparan pertama, maka
$n(A)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 5 dan $n(S)$ menyatakan banyaknya semua bola yaitu 9.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}$
Karena bola yang sudah di ambil pada pengambilan pertama dikembalikan lagi, maka $n(S)$ atau  banyaknya semua bola tetap yaitu 9. Misalkan (B) adalah kejadian munculnya bola putih dan $n(B)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 4, maka
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9}$
Jadi peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih adalah $(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{5}{9}.\frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

❤❤ PELUANG BERSYARAT❤❤

Pada suatu percobaan, jika kejadian (A) dan (B) dapat terjadi bersama-sama tetapi terjadi atau tidak terjadinya (A) akan mempengaruhi terjadia atau tidak terjadinya kejadian (B), maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat dan berlaku:

Peluang munculnya kejadian (A) dengan syarat kejadian (B) telah terjadi adalah

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dengan $P(B)\neq 0$

Contoh soal.

1. Pada pelemparan 2 buah dadu, berapakah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terlebih dahulu.
Jawab
Dari soal diketahui dua dadu, maka $n(S)=6^2=36$
(A=) Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama
$A=\left \{ (1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1) \right \}$
(B=) Kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 [sebagai syarat]
$B=\left \{ (1,1);(1,2);(2,1) \right \}\Rightarrow n(B)=3$
👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$
$(A\cap B)=\left \{(1,1);(2,1) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=2$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{36}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{3}{36}}=\frac{2}{3}$

2. Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya dua sisi muka dengan syarat sisi muka muncul pertama.

Jawab

Dari soal diketahui dua koin, maka $n(S)=2^2=4$

(A=) Kejadian dua sisi muka [gambar]

$A=\left \{ (GG) \right \}$

(B=) Kejadian sisi muka muncul pertama [sebagai syarat]

$B=\left \{ (GG),(GA) \right \}\Rightarrow n(B)=2$

👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$(A\cap B)=\left \{(GG) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=1$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{4}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

⃟ Peluang Pengambilan tanpa Pengembalian

Peluang pengambilan tanpa pengembalian dapat dipandang sebagai kejadian bersyarat.

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A/B).P(B)$

Contoh soal.
Pada pengambilan dua buah kartu bridge satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua.
Jawab

Misalkan (A) adalah kejadian munculnya kartu As pada pengambilan pertama. $n(A)$ menyatakan banyaknya kartu As pada karu bridge yaitu 4.  $n(S)$ menyatakan banyaknya semua kartu bridge dalam satu set yaitu 52. Maka,

    👉 $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$
Satu kartu As pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi sehingga jumlah tumpukan kartu menjadi 51 $[n(S)'=51]$. Jika $B$ adalah kejadian munculnya kartu king pada pengambilan kedua dan banyaknya kartu king pada satu set kartu adalah 4 $[n(B)=4]$, maka
    👉 $P(B/A)=\frac{n(B/A)}{n(S)'}=\frac{4}{51}$
Jadi peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua adalah $P(A\cap B)=P(B/A).P(A)=\frac{4}{51}.\frac{4}{52}$

Lihat juga: Soal dan Pembahasan Peluang, Soal-Soal Peluang, Distribusi Normal, Distribusi Binomial

Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Distribusi Normal juga sering disebut dengan Distribusi Gauss. Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu:

1. Grafik simetri terhadap garis tegak $x=\mu$, dengan $\mu$ adalah rata-rata.

2. Grafik selalu berada di atas sumbu $X$ atau $f(x)>0$

3. Mempunyai satu nilai modus

4. Grafiknya mendekati sumbu $X$ tetapi tidak pernah memotong sumbu $X$ [Sumbu $x$ merupakan asimtot datar]

5. Luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$ sama dengan 1, yaitu $P(-\infty<x<\infty)=1$

Persamaan umum distribusi normal adalah $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}$

MENENTUKAN PELUANG DISTRIBUSI NORMAL

Peluang distribusi normal $f(x)$ pada interval $a<x<b$ ditentukan dengan menghitung luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$. Kalau disajikan dalam gambar akan tampak seperti di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, luas daerah di bawah grafik dan di atas sumbu x adalah 1 dan garis tegak $x=\mu$ merupakan garis sumbu simetri oleh karena itu di sebelah kanan garis $x=\mu$ mempunyai luas $\frac{1}{2}$. Begitupun untuk luas di sebelah kiri $x=\mu$. 

Luas daerah di atas adalah $P(a<x<b)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}}dx$. Proses pengintegralan tersebut sulit untuk dilakukan, oleh karena itu penyelesaianya dilakukan dengan menggunakan transformasi nilai-nilai $X$ menjadi nilai-nilai baku $Z$ yaitu $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.  Dengan tranformasi tersebut, diperoleh rata-rata $\mu=0$ dan $\sigma=1$, sehingga distribusi $f(x)$ berubah menjadi $f(Z)$ dengan persamaan $f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}},-\infty <Z<\infty$.

Jadi peluang $P(z_1<Z<z_2)=\int_{z_1}^{z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}}dx$

Dengan nilai  $P(z_1<Z<z_2)$ dapat dihitung menggunakan table Z.

Distribusi peubah acak normal dengan rataan $0$ dan simpangan baku $1$ disebut dengan distribusi normal baku.

CONTOH SOAL

([1]) Diketahui suatu variable acak $X$ mempunyai distribusi normal dengan rata-rata $18$ dan simpangan baku $\frac{5}{2}$. Nilai dari $P(17<X<21)$ adalah …

Jawab.

Diketahui di soal bahwa $\mu=18$ dan $\sigma =\frac{5}{2}$ dan dapat dicari $z_1=\frac{x_1-\mu}{\sigma}=\frac{17-18}{\frac{5}{2}}=-0,4$ dan $z_2=\frac{x_2-\mu}{\sigma}=\frac{21-18}{\frac{5}{2}}=1,2$.

Maka nilai $P(17<X<21)$ ditranformasikan menjadi $P(-0,4<Z<1,2)$

$P(-0,4<Z<1,2)=P(0<Z<0,4)+P(0<Z<1,2)=0,1554+0,3849=0,5303$. 

Catatan: luas daerah kurva normal antara dengan $-0,4<Z<0=0<Z<0,4$

([2]) Suatu variabel acak (X) memenuhi distribusi normal baku . Nilai $P(1,42<Z<2,54)$ adalah

Jawab. 

$P(1,42<Z<2,54)=P(0<Z<2,54)-P(0<Z<1,42)=0,4945-0,4222=0,0723$

Cara membaca table Z
Misalkan kita akan menentukan nilai dari $P(0<Z<1,42)$. Yang perlu diperhatikan adalah angka 1,42 yang kita pecah menjadi 1,4 dan 2. Angka 1,4 kita lihat pada table sebelah kiri secara vertical dan angka 2 lihat di atas table secara horizontal. Hubungkan kedua angka tersebut seperti menghubungkan titik pada koodinat kartesius. Dalam table akan ketemu $P(0<Z<1,42)=0,4222$. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 Dalam kurva normal akan tampak seperti di bawah ini.

Peluang Binomial

Distribusi Binomial
Penemu Distriusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai distribusi Bernaulli.
Distribusi binomila harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimen terdiri dari (n) buah percobaan berulang
2. Setiap percobaan memberikan dua kemungkinan hasil yaitu "berhasil" atau "gagal"
3. Peluang "berhasil" yang disebut (p) bersifat tetap sepanjang percobaan [atau peluang dengan pengembalian], contohnya jika lambungan pertama peluang sukses adalah $\frac{1}{2}$, maka pelambungan berikutnya harus tetap yaitu $\frac{1}{2}$
4. Peluang "gagal" disebut (q), dengan $q=1-p$.
5. Percobaan sebanyak (n) kali adalah bersifat bebas [(Independent)], artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial:
$f(x)=P(X=x)=b(x,n,p)=_{x}^{n}\textrm{C}\times p^{x}\times q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\times p^{x}\times q^{n-x}$
dengan: (p=) Peluang sukses

(q=) Peluang gagal

(n=) Jumlah total percobaan

(x=) Jumlah sukses dari (n) kali percobaan

Contoh Soal

1. Peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah ...
   Pembahasan
   Misalkan (G) adalah kejadian muncul sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam, dan $G^T$ adalah kejadian muncul sisi bukan gambar pada pelemparan sebuah uang logam, maka:
   $G=\left \{ G \right \} \rightarrow n(A)=1$ dan $S=\left \{ A,G \right \} \rightarrow n(S)=2$ karena sebuah uang logam
   $P(G)=\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{1}{2}$ dan $P(G)+P(G^T)=1$
   
   $\frac{1}{2}+P(G^T)=1$
   $P(G^T)=\frac{1}{2}$
   Jadi, peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah
   $P(X=6)=_{6}^{10}\textrm{C}\times P(G)^{6}\times P(G^{T})^{10-6}$
   
   $=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{10-6}$
   $=10 \times 3 \times 7\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$
   $=210\left ( \frac{1}{2} \right )^{10}$
2. 10 persen dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan dua buah benda kategori A
   Pembahasan
   Misalkan (A) adalah kejadian munculnya benda kategori A. Maka $P(A)=\frac{10}{100}=0,1$
   (A^T) adalah kejadian munculnya benda bukan kategori A. Maka
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $0,1+P(A^{T})=1$ $P(A^T)=0,9$
   Jadi, peluang berisikan dua benda kategori A adalah: $P(X=A)=_{2}^{30}\textrm{C}\times P(A)^{2}\times P(A^{T})^{30-2}$
   $=\frac{30 \times 29 \times 28!}{2 \times 1 \times 28!}(0,1)^{2}(0,9)^{30-2}$
   $=15 \times 29(0,1)^{2}(0,9)^{28}$
3. UN SMA Tapel 2014-2015 Program Studi IPA
   Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ...
   A. $\frac{180}{625}$
   B. $\frac{612}{625}$
   C. $\frac{216}{625}$
   D. $\frac{228}{625}$
   E. $\frac{230}{625}$
   Pembahasan
   Misalkan (A) adalah kejadian penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti, maka $P(A)=\frac{3}{5}$.
   $A^{T}$ adalah kejadian penjaga gawang profesional tidak mampu menahan tendangan penalti, maka peluangnya adalah $P(A^{T})$.
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $\frac{3}{5}+P(A^{T})=1$
   $P(A^{T})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
   $P(X=3)=_{3}^{5}\textrm{C}\left ( P(A) \right )^{3}\left ( P(A^{T}) \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5!}{(5-3)!\times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=5 \times 2 \times \left( \frac{3}{5} \right ) \left( \frac{3}{5} \right )^{2}\left( \frac{2}{5} \right )^{2}$
   $=\frac{216}{625}$
   Jadi, peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti adalah $\frac{216}{625}$
   Jawaban C