Pembahasan Soal UN Garis Singgung

Soal 1, UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ yang sejajar dengan garis $3x-y+5=0$ adalah ...
A. $3x-y+4=0$
B. $3x-y-4=0$
C. $3x-y-20=0$
D. $x-3y-4=0$
E. $x-3y+4=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $m=f'(x_1)$, dengan $f'(x)$ turunan dari $f(x)$
• Persamaan garis singgung dengan gradien (m) dan sebuah titik $(x_1,y_1)$ adalah $y-y_1=m(x-x_1)$
• Persamaan garis $ax+by+c=0$ mempunyai gradien (m), dengan $m=-\frac{a}{b}$
• Dua garis dikatakan sejajar apabila gradiennya sama, yaitu $m_1=m_2$

Pembahasan
$3x-y+5=0$ mempunyai gradien $m_1=-\frac{3}{(-1)}=3$
Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ adalah $m_2=y'=2x-5$
Karena garis $3x-y+5=0$ sejajar dengan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$, maka gradiennya sama
$m_1=m_2$
$3=2x-5$
$8=2x\rightarrow x=4$
Untuk mencari (y), substitusi $x=4$ ke persamaan $y=x^{2}-5x+12$
$y=4^{2}-5.4+12$
$y=16-20+12$
$y=8$
Maka persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ mempunyai gradien $m_2=3$ dan melalui titik $(4,8)$
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-8=3(x-4)$
$y-8=3x-12$
$y=3x-12+8$
$y=3x-4$
$3x-y-4=0$
Jawaban B

Soal yang sejenis

1. UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
   Persamaan garis singgung grafik $y=x^{2}-4x-5$ yang sejajar dengan garis $2x-y-6=0$ adalah ...
   A. $2x-y-19=0$
   B. $2x-y-14=0$
   C. $2x-y-11=0$
   D. $2x-y+2=0$
   E. $2x-y+5=0$
   

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program studi IPA
Diketahui grafik fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...
A. $y=5x+7$
B. $y=5x-1$
C. $y=x+5$
D. $y=3x-7$
E. $y=3x+5$

Pembahasan
Karena fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$, maka kita perlu mencari titik potong kedua fungsi tersebut.
$2x^{2}-3x+7=4x+1$
$2x^{2}-7x+6=0$
$(2x-3)(x-2)=0$
$x_1=\frac{3}{2}\ atau\ x_2=2$
Substitusi $x_1=\frac{3}{2}$ dan $x_2=2$ ke persamaan $y=4x+1$

Untuk $x=\frac{3}{2}$ maka di dapat $y=4.\frac{3}{2}+1=7$. Jadi titiknya $(\frac{3}{2},7)$
Untuk $x=2$ maka di dapat $y=4.2+1=9$. Jadi titiknya $(2,9)$

$y=2x^{2}-3x+7 \mapsto y'=4x-3$
$x_1=\frac{3}{2} \mapsto m_1=y'=4.\frac{3}{2}-3=3$
$x_2=2 \mapsto m_2=y'=4.2-3=5$
Jadi terdapat dua garis singgung
Pertama garis singgung kurva yang melalui titik $(\frac{3}{2},7)$ dan mempunyai gradien 3
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-7=3(x-\frac{3}{2})$
$y=3x-\frac{9}{2}+7$
$y=3x+\frac{5}{3}$
Kedua garis singgung kurva yang melalui titik $(2,9)$ dan mempunyai gradien 5
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-9=5(x-2)$
$y=5x-10+9$
$y=5x-1$
Jawaban B

UN Matematika Program Studi IPS Tahun 2013
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{2x-1}{3x-1}$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)$. Nilai dari $f'(1)=...$
A. -3
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan
Misal:
$u=2x-1$
$u'=2$
$v=3x-1$
$v'=3$
$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
     $=\frac{2(3x-1)-(2x-1)3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{6x-2-6x+3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{1}{(3x-1)^{2}}$
$f'(1)=\frac{1}{(3.1-1)^{2}}=\frac{1}{4}$

Pembahasan soal UN Materi Turunan Fungsi Aljabar

Soal 1, UN SMA Tahun 2013 Program Studi IPS
Turunan pertama dari $f(x)=3x^{3}-6x^{2}+3$ adalah ...
A. $f'(x)=x^{3}-3x^{2}+3x$
B. $f'(x)=9x^{2}-12x+3$
C. $f'(x)=9x^{2}-12x$
D. $f'(x)=9x^{2}+12x$
E. $f'(x)=9x^{2}-12$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
(y') merupakan turunan dari (y)

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$

Pembahasan
$f(x)=3x^{3}-6x^{2}+3$
$f'(x)=3.3x^{2}-6.2x$

$=9x^{2}-12x$

Jawaban C

Soal 2, UN SMA Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 1
Turunan pertama fungsi $f(x)=(5x-3)^{3}$ adalah ...
A. $f'(x)=3(5x-3)^{2}$
B. $f'(x)=5(5x-3)^{2}$
C. $f'(x)=8(5x-3)^{2}$
D. $f'(x)=15(5x-3)^{2}$
E. $f'(x)=45(5x-3)^{2}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
(y') merupakan turunan dari (y)

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
• $y=\left [ g(x) \right ]^{n} \Rightarrow y'=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$, dimana $g'(x)$ merupakan turunan pertama dari $g(x)$

Pembahasan
Dari fungsi $f(x)=(5x-3)^{3}$, kita misalkan $g(x)=5x-3$, maka $g'(x)=5$
Berdasarkan konsep dasar di atas, maka turunannya akan berbentuk $f'(x)=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$
$f'(x)=3(5x-3)^{3-1}5$

$=15(5x-3)^{2}$

Jawaban D

Sebagai latihan, berikut merupakan soal-soal yang sejenis dengan soal di atas.

1. UN Matematika Tahun 2018 Program Studi IPS Paket 4
   Turunan pertama dari $f(x)=(2x-5)^{5}$ adalah ...
   A. $f'(x)=5(2x-5)^{5}$
   B. $f'(x)=10(2x-5)^{5}$
   C. $f'(x)=5(2x-5)^{4}$
   D. $f'(x)=10(2x-5)^{4}$
   E. $f'(x)=(2x-5)^{4}$

Soal 3, UN SMA Tapel 2017/2018 Program Studi IPA
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=3x^{2}\left ( 2x-5 \right )^{6}$ adalah $f'(x)=...$
A. $(40x^{2}-30x)(2x-5)^{6}$
B. $6x(8x-5)(2x-5)^{5}$
C. $6x(8x-5)(2x-5)^{6}$
D. $12x(8x-5)(2x-5)^{5}$
E. $12x(8x-5)(2x-5)^{6}$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:
(y') merupakan turunan dari (y)

• $y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
• Jika $h(x)=f(x).g(x)$, maka $h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
• $y=\left [ g(x) \right ]^{n} \Rightarrow y'=n\left [ g(x) \right ]^{n-1}g'(x)$, dimana $g'(x)$ merupakan turunan pertama dari $g(x)$

Pembahasan
$f(x)=3x^{2}\left ( 2x-5 \right )^{6}$
Misal
$u=3x^{2}$
$u'=6x$ [Turuan dari u]
$v=\left ( 2x-5 \right )^{6}$
$v'=6.\left ( 2x-5 \right )^{5}.2$ [Turunan dari v]
$=12\left ( 2x-5 \right )^{5}$
Maka $f(x)=uv$
$f'(x)=u'v+uv'$

$=(6x)\left ( 2x-5 \right )^{6}+(3x^{2})\left ( 12\left ( 2x-5 \right )^{5} \right )$
$=6x\left ( 2x-5 \right )^{5}\left ( 2x-5+6x \right )$
$=6x\left ( 2x-5 \right )^{5}\left ( 8x-5 \right )$
$=6x\left ( 8x-5 \right )\left ( 2x-5 \right )^{5}$

Jawaban B

Lihat di sini: Pembahasan soal turunan yang lain

Pembahasan Soal Turunan Fungsi Aljabar

No 1, UN SMA Tapel 2017-2018 Program Studi IPA
Diketahui $f(x)=5x-3$ dan $g(x)=4x^{2}-3x$. Jika $h(x)=f(x).g(x)$ dan $h'(x)$ merupakan turunan dari $h(x)$, maka $h'(x)=$...
A. $40x-5$
B. $-20x^{2}+24x-9$
C. $20x^{3}-27x^{2}+9x$
D. $20x^{2}+25x-15$
E. $60x^{2}-54x+9$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
$y=ax^{n}\rightarrow y'=a.nx^{n-1}$
Jika $h(x)=f(x).g(x)$, maka $h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=5x-3$
$g(x)=4x^{2}-3x$
$h(x)=f(x).g(x)$

Ditanyakan:

$h'(x)=...?$

Jawab:
$f(x)=5x-3\rightarrow f'(x)=5$
$g(x)=4x^{2}-3x\rightarrow g'(x)=8x-3$
Maka:
$h(x)=f(x).g(x)$
$h'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
$h'(x)=5\left(4x^{2}-3x\right)+\left(5x-3\right).\left(8x-3\right)$
$h'(x)=20x^{2}-15x+40x^{2}-39x+9$
$h'(x)=60x^{2}-54x+9$
Jawaban E

No 2, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPA
Jika fungsi $f(x)=\frac{2x+3}{x-5},x\neq 5$ dan $g(x)=3x+1$ maka $\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=$...
A. $\frac{5x+4}{x+7},x\neq -7$
B. $\frac{5x+7}{x-4},x\neq 4$
C. $\frac{5x+4}{x-7},x\neq 7$
D. $\frac{5x-4}{x-7},x\neq 7$
E. $\frac{5x-7}{x-4},x\neq 4$

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:

• $\left ( g\circ f \right )(x)=g\left ( f(x) \right )$
• Misalkan $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, dan $f^{-1}(x)$ menyatakan invers dari $f(x)$ maka $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=\frac{2x+3}{x-5}, x\neq 5$
$g(x)=3x+1$

Ditanyakan:

$\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=$...

Jawab:
$\left ( g\circ f \right )^{-1}(x)$ merupakan invers dari $\left ( g\circ f \right )(x)$
$\left ( g\circ f \right )(x)=g\left ( f(x) \right )$

$=g\left (\frac{2x+3}{x-5} \right )$

$=3\left ( \frac{2x+3}{x-5} \right )+1$

$=\frac{6x+9}{x-5}+\frac{x-5}{x-5}$

$=\frac{7x+4}{x-5}$

Maka $\left ( g\circ f \right )(x)=\frac{7x+4}{x-5} \Rightarrow \left ( g\circ f \right )^{-1}(x)=\frac{-5x-4}{-x+7}=\frac{5x+4}{x-7},x\neq 7$
Jawaban C

No 3, UN SMA Tapel 2016-2017 Program Studi IPS
Jika $f'(x)$ turunan pertama dari $f(x)=x^{3}-9x+5$, maka nilai $f'(1)$ adalah ...
A. -12
B. -6
C. 0
D. 6
E. 12

Konsep yang digunakan dalam perhitungan:
Jika $y=ax^{n}$, maka turunannya adalah $y'=n.ax^{n-1}$

Pembahasan:
Diketahui:

$f(x)=x^{3}-9x+5$

Ditanyakan:

$f'(1)=...?$

Jawab:
$f'(x)=3x^{2}-9$
$f'(1)=3.1^{2}-9$

$=3-9=-6$

Jawaban B