Pembuktian Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Dalam belajar matematika, penting kiranya kita tahu asal-usul dari suatu rumus tertentu. Pada kesempatan ini akan dijabarkan bagaimana mencari rumus jari-jari dari lingkaran dalam segitiga. Pembuktiannya sebagai berikut.
Perhatikan gambar di bawah ini

Sebelum membuktikan rumus ini, perlu diketahui bahwa
Luas segitiga $=\frac{1}{2}\times$ Alas $\times$ Tinggi

Berdasarkan gambar di atas, $OR, OQ,$ dan $OP$ merupakan garis tinggi dari segitiga $\Delta AOC, \Delta AOB,$ dan $\Delta BOC$, maka
$L_{\Delta{AOB}}=\frac{1}{2}.AB.OR$
$L_{\Delta{AOC}}=\frac{1}{2}.AC.OQ$
$L_{\Delta{BOC}}=\frac{1}{2}.BC.OP$

$L_{\Delta{ABC}}=L_{\Delta{AOB}}+L_{\Delta{AOC}}+L_{\Delta{BOC}}$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.OR+\frac{1}{2}.AC.OQ+\frac{1}{2}.BC.OP$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}.r.(AB+AC+BC)$
$L_{\Delta{ABC}}=r.s$ dengan $s=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$

Maka terbukti
$r=\frac{L_{\Delta{ABC}}}{s}$ dengan $s=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$

Berapakah sudut sin, cos dan tan sudut $108^{o}$ dan $36^{o}$???

Hal yang lumrah dalam matematika dalam bidang trigonometri adalah sudut-sudut yang istimewa (0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰) dimana kita tahu nilai sinus, kosinus maupun tangennya. Nah bagaimana kalau sudut (36⁰ dan 108⁰)...???

Apakah kita dapat menentukan nilai sinus, kosinus maupun tangen untuk sudut-sudut yang tadi tanpa menggunakan kalkulator..? Tentu bisa! berikut adalah langkah-langkah untuk mencari nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut. Silahkan disimak Sob!

Konsep dasar Trigonometri yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin (-a)=-sin (a)$

2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$

3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$

4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$

5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$

6. Persamaan kuadrat dengan (a) dan (b) sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$

7. $sin=\frac{depan}{miring}$

8. $cos=\frac{samping}{miring}$

9. $tan=\frac{depan}{samping}$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin (36^{o}+36^{o})-sin (36^{o}-36^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})-sin(0^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})$..........(1)

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})= sin(108^{o}+36^{o})-sin (108^{o}-36^{o})$

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})-sin(72^{o})$..........(2)

Jumlahkan (1) dan (2), maka di dapat:

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})+2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(180^{o}-144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(36^{o})$

$2cos(36^{o})+cos(108^{o})=1$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=\frac{1}{2}$ ..........(a)

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left(\frac{36^{o}+108^{o}}{2}\right).cos\left(\frac{36^{o}-108^{o}}{2}\right) $

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(-36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2\left(-cos\left (180^{o}- 72^{o} \right ) \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$\frac{1}{2}=-2cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$

$\frac{-1}{4}=cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$ ..........(b)

Dari (a) dan (b), dapat di bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $cos\left( 36^{0}\right )=x_1$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=x_2$

Persamaan kuadratnya menjadi

$x^{2}-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$

$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$

$4x^{2}-2x-1=0$ ........ Gunakan rumus ABC

$x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

$x_{12}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4.4.(-1)} }{2.4}$

$x_{12}=\frac{2\pm\sqrt{20} }{8}$

$x_{12}=\frac{2\pm2\sqrt{5} }{8}$

$x_{12}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Karena $cos\left( 36^{0}\right )$ bernilai positif dan $cos\left( 108^{0}\right )$ bernilai negatif, maka:

$cos\left( 36^{0}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Untuk mencari sinus dan tangen dari sudut tersebut, kita cari menggunakan Segitiga Phytagoras.

Untuk sudut $36^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2+2\sqrt{5})^{2}}$

$BC=\sqrt{64-(4+8\sqrt{5}+20)}$

$BC=\sqrt{64-(24+8\sqrt{5})}$

$BC=\sqrt{40-8\sqrt{5}}$

Maka di dapat $sin\left( 36^{0}\right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left(36^{0} \right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{2+2\sqrt{5}}$

Untuk sudut $108^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2-2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4-8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24-8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40+8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{2-2\sqrt{5}}$

Pembuktian Rumus "ABC" pada Persamaan Kuadrat

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana membuktikan rumus abc. Dimana rumus abc ini digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Biasanya kan kita hanya menggunakan rumus, tapi video di bawah ini adalah pembuktiannya.

Silangkan langsung di puter Sob.

Mudah-mudahan membantu ya..
Salam Cerdas.

SOAL SUKU BANYAK SBMPTN 2016 SAINTEK

Soal:

Diketahui bahwa sisa pembagian f(x) oleh x² + 2x + 4 adalah 2x + 3. Jika sisa pembagian (x + f(x))² oleh x² + 2x + 4 adalah ax + b, maka nilai a + b adalah ...

Penyelesaian:

Konsep yang digunakan adalah teorema sisa
f(x)=g(x).h(x)+s(x)
f(x)= suku banyak
g(x)= pembagi
h(x)= hasil bagi
s(x)= sisa

Maka, f(x) = (x² + 2x + 4).h(x) + 2x + 3
x + f(x) = (x² + 2x + 4).h(x) + 2x + 3 + x
(x + f(x))² = ((x² + 2x + 4).h(x) + 3x + 3)²
(x + f(x))² =(x² + 2x + 4)².h(x)² + 2.( x² + 2x + 4).h(x) + 9x² + 18x + 9
(x + f(x))² =(x² + 2x + 4)².h(x)² + 2.( x² + 2x + 4).h(x) + 9(x² + 2x + 4) – 27
(x + f(x))² = (x² + 2x + 4)(( x² + 2x + 4). h(x)² + 2.h(x) + 9) – 27
Oleh karena itu ax + b = -27.
a = 0 dan b = -27, maka a + b = -27

SOAL BARISAN GEOMETRI SBMPTN 2015 SAINTEK

Soal:
  
Penyelesaian:

SOAL LIMIT SIMAK UI 2013

SOAL LIMIT) Penyelesaian Soal SIMAK UI 2013 kode 131
Soal:
  
Penyelesaian:
 
 
 
 

SOAL LIMIT SBMPTN 2015 MATDAS

(SOAL LIMIT) Penyelesaian Soal SBMPTN 2015 Matematika Dasar
Soal:
Jika dan , maka
Penyelesaian:
 
...................(i)
  ...................(ii)

Dengan menggunakan penyelesaian persamaan linier dua variabel, dari (i) dan (ii) di dapat
dan  
maka