KONSEP LIMIT FUNGSI

Materi Limit merupakan materi yang dipelajari di SMA. Materi ini sangat penting karena konsep diferensial dan integral dibangun berdasarkan konsep limit fungsi. Berikut merupakan teorema dasar mengenai Konsep Limit.

Teorema
$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=L$ dan $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=L$

Berdasarkan Teorema di atas, bahwa limit $f(x)=L$ untuk (x) mendekati (c) terjadi jika limit $f(x)=L$ untuk (x) didekati dari kanan maupun kiri (c). Untuk lebih jelasnya, lihat gambar di bawah ini.

Sedangkan, jika limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka $f(x)$ dikatakan tidak punya nilai limit.

Jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow c^+}f(x)$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)$ tidak ada

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh soal:
$g(x)=\left\{\begin{matrix}-x+1;\ x<1\\ x-1;\ 1<x<2\\ 5-x^2;\ x\geq 2\end{matrix}\right.$
1. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}(x-1)=1-1=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}(-x+1)=-1+1=0$
 Karena $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=0$

2. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow2}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}(x-2)=2-2=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow2^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}(5-x^2)=5-2^2=1$
Karena $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)\neq \lim_{x\rightarrow2^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow2}g(x)$ Tidak Mempunyai Nilai Limit di (x) mendekati (2).


Lihat Juga: Turunan, Soal UN Materi Limit

PERUBAHAN GRAFIK TRIGONOMETRI

Grafik $sin\ x,\ cos\ x,\ atau\ tan\ x$ sudah lumrah kita kenal dan ingat. Akan tetapi bagaimana kalau kita diminta untuk menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45)+1$?. Bagaimana langkah kita menggambar fungsi tersebut? Apakah kita dapat memperoleh grafik tersebut berdasarkan grafik dasar $sin\ x$?. Dalam artikel ini akan dibahas bagaimana cara kita memperoleh grafik tersebut. Sebelum kita menjawab soal tersebut, ada beberapa hal yang harus kalian pahami.

Diketahui fungsi:

$y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C$

$y=Acos\ B(x+\alpha^o)+C$

$y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$

❤ Perubahan (A) mempengaruhi amplitudo suatu fungsi. Amplitudo didefinisikan $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}$.

⃝ Jika (A) isi tanda negatif $(-)$, maka grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C,\ y=Acos\ B(x+\alpha^o )+C$ atau $y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$ dicerminkan terhadap sumbu-(x). Lihat gambar di bawah sebagai contoh.

❤ Perubahan (B) mempengaruhi periode. Untuk $(sin\ Bx)\ atau\ (cos\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{360^o}{B}$ artinya, sejauh $\frac{360^o}{B}$ menghasilkan satu gelombang. Sedangkan untuk $(tan\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{180^o}{B}$. Jika (B) negatif $(-)$, maka lihat kembali materi grafik fungsi genap dan fungsi ganjil.

❤ Perubahan $\alpha^o$ mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x)$ searah sumbu -(x) yaitu ke kiri maupun ke kanan. Jika $(+\alpha^o)$ grafik akan digeser ke kiri, sedangkan $(-\alpha^o)$  grafik akan digeser ke kanan.

❤ Perubahan (C) mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o)$ atau $y=Acos\ B(x+\alpha^o)$ searah sumbu-(y) yaitu ke atas maupun ke bawah. Jika $(-C)$ grafik di geser ke bawah sejauh (C) sedangkan jika $(+C)$ grafik di geser ke atas sejauh (C).

 

⃞ Sebagai contoh, kita akan menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$

Langkah-langkah menggambar grafik di atas sebagai berikut:

1. Gambar dulu grafik $y=2sin\ x$ dengan amplitudonya 2, di dapat dari $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=\frac{2-(-2)}{2}=2$. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

2. Gambar grafik $y=2sin\ 2x$ dengan periodenya $periode=\frac{360^o}{2}=180^o$ artinya sejauh (180^o) menghasilkan satu gelombang. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

3. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)$. Dengan penambahan sudut $90^o\Rightarrow y=2sin\ 2(x+45^o)=2sin\ (2x+90^o)$ maka grafik pada langkah-2 di geser ke kiri sejauh (45^o). Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

4. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$. Untuk menggambar grafik ini tinggal menggeser grafik pada langkah ke-3 ke atas sejauh 1 satuan. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

Untuk menggambar grafik trigonometri yang lain, langkah-langkahnya juga sama seperti di atas.
Lihat juga: Soal UN Trigonometri dan Soal SBMPTN berkaitan Trigonometri

GRAFIK FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Definisi Fungsi Genap

Sebuah fungsi genap adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap sumbu (y).

❤Contoh Fungsi Genap.
1. $f(x)=x^2,\ karena\ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^2$

2. $f(x)=cos\ x,\ karena\ f(-x)=cos\ (-x)=cos\ x=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=cos\ x$

Definisi Fungsi Ganjil

Sebuah fungsi ganjil adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=-f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap titik asal.

❤Contoh Fungsi Ganjil
1. $f(x)=x^3,\ karena\ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^3$

2. $f(x)=sin\ x,\ karena\ f(-x)=sin\ (-x)=-sin\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=sin\ x$

3. $f(x)=tan\ x,\ karena\ f(-x)=tan\ (-x)=-tan\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=tan\ x$

Lihat juga: Soal Fungsi Komposisi Ujian Nasional SMA

APLIKASI DERET ARITMATIKA [NILAI ANUITAS]

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Kasus: jika kita meminjam uang pada suatu bank dan kita mengembalikan uang tersebut dengan cara mencicil dengan sistem anuitas, kita akan membayar cicilan setiap bulan dengan nomilal yang sama selama waktu yang ditentukan. Besar cicilan perbulan tersebut terdiri dari besar angsuran dan bunga. 

Untuk lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut.

Suatu pinjaman $Rp.10.000.000$ akan dilunasi dengan anuitas bulanan $Rp.500.000$. Jika suku bunga $3%$/bulan, tentukan tabel besar angsuran setiap bulan!

Jawab. 

Tabel angsurannya dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Jadi terlihat bahwa, semakin lama kita membayar cicilan, bunga perbulan $b_n$ yang kita bayarkan akan semakin sedikit sedangkan angsuran $a_n$ yang kita bayarkan semakin besar.

$Anuitas = Angsuran+Bunga$

$A=a_n+b_n$ dengan $n=$ bilangan asli

Jika suatu pinjaman (M) dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama (n) tahunan dengan suku bunga (i) pertahun dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
Besarnya pinjaman = jumlah semua angsuran
$M=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n$
$M=a_1+a_1(1+i)+a_1(1+i)^2+a_1(1+i)^3+...+a_1(1+i)^{n-1}$ [deret geometri dengan suku pertama $=a_1$ dan rasio $=(1+i)$]

$M=\frac{a_1\left ( (1+i)^n-1 \right )}{(1+i)-1}$

$M=\frac{a_1\left ( (1+i)^n-1 \right )}{i}$

$a_1=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$ dengan $A=a_1+b_1=a_1+M.i\Leftrightarrow a_1=A-M.i$ maka:

$A-M.i=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=M.i+\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=\frac{M.i\left ( (1+i)^n-1\right )+M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=\frac{M.i(1+i)^n}{\left ( (1+i)^n-1\right )}\times \frac{\frac{1}{(1+i)^n}}{\frac{1}{(1+i)^n}}$

$A=\frac{M.i}{1-\frac{1}{(1+i)^n}}$

$A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$

Besarnya anuitas dari suatu pinjaman (M) dengan suku bunga (i) periode selama (n) periode adalah:
$A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$

Hubungan antara anuitas $(A)$ dan angsuran pertama $(a_1)$
Dari pembuktian di atas diperoleh $a_1=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$ dan $A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$
$\Leftrightarrow \frac{A}{a_1}=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}:\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$
$\Leftrightarrow \frac{A}{a_1}=(1+i)^n; sehingga\ diperoleh\ A=a_1.(1+i)^n$
Sehingga hubungan antara anuitas $(A)$ dan angsuran pertama $(a_1)$ adalah $A=a_1.(1+i)^n$

Contoh soal:
1. Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar $Rp.5.000.000,00$ selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!
Jawab:
Dari soal tersebut, dapat diketahui bahwa
$M=Rp.5.000.000,00$
$n=2\ tahun=24\ bulan$
$i=2%/bulan=0,02/bulan$
$A=\frac{M\times i}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{5.000.000\times 0,02}{1-(1+0,02)^{-24}}=\frac{100.000}{1-1,02^{-24}}=264.355,49$

Lihat juga: Soal SBMPTN dan Pembahasan Materi Barisan dan Deret

SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA

Sebelumnya kita bahas tentang rumus penting pada dimensi tiga, sekarang adalah contoh soal dari materi tersebut.

Soal 1. Jarak titik ke titik

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ cm$, titik $P$ di tengah rusuk $AB$. Tentukan jarak titik $P$ ke $G$.

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, titik $P$ dan $G$ terletak pada $\Delta PCG$ dan siku-siku di titik $C$. Jadi dengan menggunakan Phytagoras dapat ditentukan panjang $PG$. Terlebih dahulu kita cari panjang $PC$. $PC=\sqrt{PB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

⧭$PG=\sqrt{PC^2+CG^2}$

        $=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+6^2}$

        $=\sqrt{45+36}$

        $=\sqrt{81}=9\ cm$

Soal 2. Jarak titik ke garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke garis $HB$!

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke garis $HB$ adalah panjang $AA'$. Terlebih dahulu kita mencari panjang garis $AH$ [Diagonal Bidang] dan garis $HB$ [Diagonal Ruang] .  $AH=s\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ dan $HB=s\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Perhatikan $\Delta ABH$! 

⧭$L_{ABH}=L_{ABH}$

⟺$\frac{1}{2}(AB)(AH)=\frac{1}{2}(HB)(AA')$

⟺$(4)(4\sqrt{2})=(4\sqrt{3})(AA')$

⟺$AA'=\frac{4}{3}{\sqrt{6}}\ cm$

Soal 3. Jarak titik ke bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke bidang $HDF$

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $HDBF$ [Karena bidang bisa diperluas]. Untuk mencari jarak tersebut, kita akan membuat bidang yang melalui titik $A$ dan tegak lurus dengan bidang $HDBF$. Bidang yang tegak lurus tersebut adalah bidang $ACGE$. Perpotongan antara bidang $HDBF$ dengan bidang $ACGE$ adalah garis $XY$. Jadi jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ dengan garis $XY$.
⧭ Perhatikan $\Delta AYX$, karena siku-siku di $Y$ maka jarak titik $A$ dengan garis $XY$ adalah panjang garis $AY$ yaitu setengah dari diagonal bidang $AC=\frac{1}{2}.12\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ cm$

Lihat kembali: Rumus penting pada dimensi tiga

RUMUS PENTING PADA DIMENSI TIGA

Dimensi tiga merupakan materi yang diajarkan di SMA kelas 3 pada kurikulum 2013. Pada pembahasan kali ini, saya hanya menyinggung sedikit tentang materi ini yaitu pada pembahasan mencari jarak antara dua titik, jarak antara titik dengan garis, jarak antara titik dengan bidang.

1) Jarak antara titik dengan titik

Untuk mencari jarak antara titik dengan titik sering kali digunakan Rumus Phytagoras. Rumus Phytagoras ini dapat digunakan pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga di samping, terlihat bahwa segitiga tersebut siku-siku di titik $B$. Oleh karena itu dapat dibuat persamaan Phytagorasnya adalah $(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2$ atau 

$b^2=c^2+a^2$ atau

$c^2=b^2-a^2$ atau

$a^2=b^2-c^2$

Trik: 

1. Gambarkan titik yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga siku-siku yang melalui titik tersebut.

3. Cari jarak titik ke titik menggunakan Rumus Phytagoras.

2) Jarak antara titik dengan garis

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $p$ ke garis $g$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus terhadap garis $g$. 

Perhatikan gambar di bawah!

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah jarak titik $P$ ke titik $P'$.

⧭Untuk mencari jarak antara titik dengan garis, ada beberapa hal penting yang harus dipahami.

a. Rumus Phytagoras [seperti yang sudah dijelaskan di atas]
b. Rumus Luas Segitiga

Terdapat tiga rumus untuk mencari luas segitiga, tergantung yang mana yang dibutuhkan.

➤ Jika sebuah segitiga diketahui panjang alas dan tingginya, untuk mencari luas segitiga dapat dilihat gambar di bawah.

Luas segitiga adalah $\frac{1}{2}alas\times tinggi$

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB$

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times BD$

[Ingat: Tinggi segitiga merupakan tegak lurus dengan alasnya]

$L_{\Delta ABC}=L_{\Delta ABC}$

$\frac{1}{2}BC\times AB=\frac{1}{2}AC\times BD$

$BC\times AB=AC\times BD$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui dua sisinya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB \times sin\ {\beta }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AC \times sin\ {\gamma }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times AB \times sin\ {\alpha }$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui ketiga sisinya, luas segitiga dapat dicari

$L_{\Delta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $s=\frac{a+b+c}{2}$

c. Rumus trigonometri aturan sin, cos, dan tan

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$sin\ {\alpha }=\frac{depan}{miring}=\frac{AC}{AB}$
$cos\ {\alpha }=\frac{samping}{miring}=\frac{BC}{AB}$
$tan\ {\alpha }=\frac{depan}{samping}=\frac{AC}{BC}$








d. Aturan cosinus
Aturan cosinus digunakan untuk mencari salah satu sudut jika diketahui ketiga sisi-sisinya atau untuk mencari salah satu sisi jika diketahui panjang sisi-sisi lainnya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ (A)$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ (B)$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ (C)$

Trik:

1. Gambarkan titik dan garis yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga yang melalui titik dan garis tersebut [Usahakan buat segitiga yang siku-siku]

3. Cari jarak titik ke garis yaitu panjang garis dari titik tersebut yang tegak lurus dengan garis [seringnya menggunakan luas segitiga]

3. Jarak antara titik dengan bidang

Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $P$ ke bidang $v$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus dengan bidang $v$

Perhatikan gambar di bawah.

$PP'=$ merupakan jarak titik $P$ ke bidang $v$

Trik: Ubahlah jarak titik $P$ ke bidang $v$ menjadi jarak titik $P$ ke garis $g$
1. Lukislah bidang $w$ yang melalui $P$ dan tegak lurus $v$
2. Lukis garis $g$ yang merupakan perpotongan antara bidang $v$ dan $w$.
3. Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah jarak titik $P$ ke garis $g$ [Kemudian selesaikan dengan trik mencari jarak titik ke garis seperti penjelasan sebelumnya].

Lihat: Soal dan pembahasan mengenai jarak titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang

Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Distribusi Normal juga sering disebut dengan Distribusi Gauss. Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu:

1. Grafik simetri terhadap garis tegak $x=\mu$, dengan $\mu$ adalah rata-rata.

2. Grafik selalu berada di atas sumbu $X$ atau $f(x)>0$

3. Mempunyai satu nilai modus

4. Grafiknya mendekati sumbu $X$ tetapi tidak pernah memotong sumbu $X$ [Sumbu $x$ merupakan asimtot datar]

5. Luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$ sama dengan 1, yaitu $P(-\infty<x<\infty)=1$

Persamaan umum distribusi normal adalah $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}$

MENENTUKAN PELUANG DISTRIBUSI NORMAL

Peluang distribusi normal $f(x)$ pada interval $a<x<b$ ditentukan dengan menghitung luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$. Kalau disajikan dalam gambar akan tampak seperti di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, luas daerah di bawah grafik dan di atas sumbu x adalah 1 dan garis tegak $x=\mu$ merupakan garis sumbu simetri oleh karena itu di sebelah kanan garis $x=\mu$ mempunyai luas $\frac{1}{2}$. Begitupun untuk luas di sebelah kiri $x=\mu$. 

Luas daerah di atas adalah $P(a<x<b)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}}dx$. Proses pengintegralan tersebut sulit untuk dilakukan, oleh karena itu penyelesaianya dilakukan dengan menggunakan transformasi nilai-nilai $X$ menjadi nilai-nilai baku $Z$ yaitu $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.  Dengan tranformasi tersebut, diperoleh rata-rata $\mu=0$ dan $\sigma=1$, sehingga distribusi $f(x)$ berubah menjadi $f(Z)$ dengan persamaan $f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}},-\infty <Z<\infty$.

Jadi peluang $P(z_1<Z<z_2)=\int_{z_1}^{z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}}dx$

Dengan nilai  $P(z_1<Z<z_2)$ dapat dihitung menggunakan table Z.

Distribusi peubah acak normal dengan rataan $0$ dan simpangan baku $1$ disebut dengan distribusi normal baku.

CONTOH SOAL

([1]) Diketahui suatu variable acak $X$ mempunyai distribusi normal dengan rata-rata $18$ dan simpangan baku $\frac{5}{2}$. Nilai dari $P(17<X<21)$ adalah …

Jawab.

Diketahui di soal bahwa $\mu=18$ dan $\sigma =\frac{5}{2}$ dan dapat dicari $z_1=\frac{x_1-\mu}{\sigma}=\frac{17-18}{\frac{5}{2}}=-0,4$ dan $z_2=\frac{x_2-\mu}{\sigma}=\frac{21-18}{\frac{5}{2}}=1,2$.

Maka nilai $P(17<X<21)$ ditranformasikan menjadi $P(-0,4<Z<1,2)$

$P(-0,4<Z<1,2)=P(0<Z<0,4)+P(0<Z<1,2)=0,1554+0,3849=0,5303$. 

Catatan: luas daerah kurva normal antara dengan $-0,4<Z<0=0<Z<0,4$

([2]) Suatu variabel acak (X) memenuhi distribusi normal baku . Nilai $P(1,42<Z<2,54)$ adalah

Jawab. 

$P(1,42<Z<2,54)=P(0<Z<2,54)-P(0<Z<1,42)=0,4945-0,4222=0,0723$

Cara membaca table Z
Misalkan kita akan menentukan nilai dari $P(0<Z<1,42)$. Yang perlu diperhatikan adalah angka 1,42 yang kita pecah menjadi 1,4 dan 2. Angka 1,4 kita lihat pada table sebelah kiri secara vertical dan angka 2 lihat di atas table secara horizontal. Hubungkan kedua angka tersebut seperti menghubungkan titik pada koodinat kartesius. Dalam table akan ketemu $P(0<Z<1,42)=0,4222$. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 Dalam kurva normal akan tampak seperti di bawah ini.

Rumus dan Teorema Penting dalam Integral

Setelah kita memahami perbedaan integral tentu dan tak tentu. Berikut merupakan rumus-rumus dan beberapa teorema yang penting dalam integral:

1. [Teorema]: Jika $f$ periodik dengan periode (p), maka $\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$
2. [Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral]: Jika (f) kontinu pada $[a,b]$, maka terdapat suatu bilangan (c) antara (a) dan (b) sedemikian sehingga $\int_{a}^{b}f(t)dt=f(c)(b-a)$
3. [Teorema pendeferensialan suatu Integral Tentu]: Andaikan (f) kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ dan andaikan (x) sebuah $(variabel)$ titik dalam $[a,b]$. Maka $D_x\left [ \int_{a}^{x}f(t)dt \right ]=f(x)$
   $D_x$ merupakan turunan terhadap (x)
4. [Teorema Keterbatasan]: Jika (f) terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $m\leq f(x)\leq M$ untuk semua (x) dalam $[a,b]$, maka $m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$
5. [Teorema Perbandingan]: Jika (f) dan (g) terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $f(x)\leq g(x)$ untuk semua (x) dalam $[a,b]$, maka $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int x^{-1}dx=ln|x|+c$
2. $\int e^x\ dx=e^x+C$
3. $\int a^x\ dx=\frac{a^x}{ln\ a}+C$
4. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=sin^{-1}\frac{u}{a}+C$
5. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}tan^{-1}\ \frac{u}{a}+C$
6. $\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{u+a}{u-a} \right |+C$
7. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}sec^{-1}\left | \frac{u}{a} \right |+C$

$\bigstar$ Integral Trigonometri

1. $\int cos\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sin\ (ax+b)+c$
2. $\int sin\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos\ (ax+b)+c$
3. $\int sec^2\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}tan\ (ax+b)+c$
4. $\int csc^2\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cot\ (ax+b)+c$
5. $\int sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sec\ (ax+b)+c$
6. $\int csc\ (ax+b).cot\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}csc\ (ax+b)+c$
7. $\int tan\ u\ dx=-ln|cos\ u|+C$
8. $\int cot\ u\ dx=ln|sin\ u|+C$
9. $\int sec\ u\ dx=ln|sec\ u+tan\ u|+C$
10. $\int csc\ u\ dx=ln|csc\ u-cot\ u|+C$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int ue^u\ du=(u-1)e^u+C$
2. $\int ln\ u\ du=u\ ln\ u-u+C$
3. $\int u^ne^u\ du=u^ne^u-n\int u^{n-1}e^u\ du$
4. $\int u^n\ ln\ u\ du=\frac{u^{n+1}}{n+1}ln\ u-\frac{u^{n+1}}{(n+1)^2}+C$
5. $\int e^{au}sin\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ sin\ bu-b\ cos\ bu)+C$
6. $\int e^{au}cos\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ cos\ bu-b\ sin\ bu)+C$

Mencari Luas Daerah Menggunakan Integral

Seperti yang saya posting sebelumnya pada Perbedaan Integral Tentu dan Tak Tentu bahwa daerah yang dibentuk oleh grafik $y=f(x)$ adalah daerah yang tercakup di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-(x).

• Jika daerah terletak di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-(x) [berada di atas sumbu-(x)] dengan batas-batas integral (a) dan (b)
  
  
  Maka luas daerahnya adalah $\int_{a}^{b}{f(x)}\ dx$
• Jika daerah terletak di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-(x) [berada di bawah sumbu-(x)] dengan batas-batas integral (a) dan (b)
  
  
  Maka luas daerahnya adalah $-\int_{a}^{b}{f(x)}\ dx$

Luas daerah tidak ada yang negatif.
Berikut merupakan contoh-contoh soal untuk menentukan luas daerah.

Soal 1. UN 2015
Luas daerah antara kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ dengan sumbu-(x) adalah ...
A. $\frac{40}{12}$ satuan luas
B. $\frac{39}{12}$ satuan luas
C. $\frac{37}{12}$ satuan luas
D. $\frac{29}{12}$ satuan luas
E. $\frac{15}{12}$ satuan luas

Pembahasan:
Langkah Pertama: Gambar kurva
Gambar kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ adalah sebagai berikut:

Langkah Kedua: Menentukan daerah yang akan dicari luasnya dan titik potong
Menentukan titik potong kurva $y=-x^{3}-x^{2}+2x$ dengan sumbu-(x), dengan cara mensubstitusi $y=0$ ke persamaan $y=-x^{3}-x^{2}+2x$. Titik potong ini digunakan untuk batas-batas integral.
$y=-x^{3}-x^{2}+2x$
$0=-x^{3}-x^{2}+2x$
$0=-x\left ( x^{2}+x-2 \right )$
$0=-x(x+2)(x-1)$
$x=0\ atau\ x=-2\ atau\ x=1$
Pembagian daerah beserta batas integral tersebut dapat dilihat dalam gambar berikut:

Langkah Ketiga: Mencari Integral dari setiap bagian tersebut
$L_1=\int_{0}^{1}{\left ( -x^{3}-x^{2}+2x \right )}\ dx$

$=\left [ -\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2} \right ]\begin{matrix}1\\ \\ 0 \end{matrix}$
$=\left ( -\frac{1}{4}1^{4}-\frac{1}{3}1^{3}+1^{2} \right )-\left ( -\frac{1}{4}0^{4}-\frac{1}{3}0^{3}+0^{2} \right )$
$=-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1$
$=\frac{5}{12}$

$L_2=-\int_{-2}^{0}{\left ( -x^{3}-x^{2}+2x \right )}\ dx$

$=-\left [ -\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2} \right ]\begin{matrix}0\\ \\ -2 \end{matrix}$
$=-\left [\left ( -\frac{1}{4}0^{4}-\frac{1}{3}0^{3}+0^{2} \right )-\left ( -\frac{1}{4}(-2)^{4}-\frac{1}{3}(-2)^{3}+(-2)^{2} \right ) \right ]$
$=-\left [0-\left ( -4+\frac{8}{3}+4 \right ) \right ]$
$=\frac{8}{3}$

$Luas\ seluruhnya= L_1+L_2$

$=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$
$=\frac{37}{12}$

Jawaban: C

Soal 2
Luas daerah yang dibentuk oleh kurva $y=x^{2}-2x$ dan garis $y=2x$ adalah ...

Pembahasan:
Langkah Pertama: Gambar Grafik
Untuk mencari luas daerah yang dibentuk oleh dua kurva, kita menggambar kurva secara umum di bidang kartesius agar kita dapat membayangkan daerah yang mana yang harus kita cari luasnya. Kalau di gambar menurut kurva yang diberikan pada soal, maka akan seperti berikut:

Langkah Kedua: Memecah-mecah gambar serta menentukan titik potong kedua grafik
Yang dimaksud memecah-mecah gambar disini adalah membagi-bagi gambar menjadi beberapa bagian agar mudah meningtegralkan dan tidak menyalahi aturan dalam menentukan luas daerah integral.
Menentukan titik potong kedua kurva tersebut digunakan untuk mengetahui batas integral, dengan cara mensubstitusi kurva $y=2x$ ke kurva $y=x^{2}-2x$
$y=x^{2}-2x$
$2x=x^{2}-2x$
$x^{2}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0\ atau\ x=4$
Pembagian daerah beserta batas integral tersebut dapat dilihat dalam gambar berikut:

Langkah Ketiga: Mencari Integral dari setiap bagian tersebut
$L_1=-\int_{0}^{2}{x^{2}-2x}\ dx$

$=-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-x^{2} \right ]\begin{matrix}2\\ \\ 0\end{matrix}$
$=-\left ( \frac{1}{3}2^{3}-2^{2} \right )-\left ( \frac{1}{3}0^{3}-0^{2} \right )$
$=-\left ( \frac{8}{3}-\frac{12}{3} \right )$
$=\frac{4}{3}$

$L_2=\int_{0}^{2}{2x}\ dx$

$=\left [ x^{2} \right ]\begin{matrix}2\\ \\ 0\end{matrix}$
$=2^{2}-0^{2}=4$

$L_3=\int_{2}^{4}\left ( f(x)-g(x) \right )\ dx$

$=\int_{2}^{4}\left ( 2x-\left ( x^{2}-2x \right ) \right )\ dx$
$=\int_{2}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )\ dx$
$=\left [ 2x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\begin{matrix}4\\ \\ 2\end{matrix}$
$=\left ( 2.4^{2}-\frac{1}{3}4^{3} \right )-\left ( 2.2^{2}-\frac{1}{3}2^{3} \right )$
$=32-8-\frac{64}{3}+\frac{8}{3}$
$=24-\frac{56}{3}$

Jadi Luas daerah yang dibentuk oleh kurva $y=x^{2}-2x$ dan garis $y=2x$ adalah
$Luas\ = L_1+L_2+L_3$

$=\frac{4}{3}+4+\left ( 24-\frac{56}{3} \right )$
$=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Peluang Binomial

Distribusi Binomial
Penemu Distriusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai distribusi Bernaulli.
Distribusi binomila harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimen terdiri dari (n) buah percobaan berulang
2. Setiap percobaan memberikan dua kemungkinan hasil yaitu "berhasil" atau "gagal"
3. Peluang "berhasil" yang disebut (p) bersifat tetap sepanjang percobaan [atau peluang dengan pengembalian], contohnya jika lambungan pertama peluang sukses adalah $\frac{1}{2}$, maka pelambungan berikutnya harus tetap yaitu $\frac{1}{2}$
4. Peluang "gagal" disebut (q), dengan $q=1-p$.
5. Percobaan sebanyak (n) kali adalah bersifat bebas [(Independent)], artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial:
$f(x)=P(X=x)=b(x,n,p)=_{x}^{n}\textrm{C}\times p^{x}\times q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\times p^{x}\times q^{n-x}$
dengan: (p=) Peluang sukses

(q=) Peluang gagal

(n=) Jumlah total percobaan

(x=) Jumlah sukses dari (n) kali percobaan

Contoh Soal

1. Peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah ...
   Pembahasan
   Misalkan (G) adalah kejadian muncul sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam, dan $G^T$ adalah kejadian muncul sisi bukan gambar pada pelemparan sebuah uang logam, maka:
   $G=\left \{ G \right \} \rightarrow n(A)=1$ dan $S=\left \{ A,G \right \} \rightarrow n(S)=2$ karena sebuah uang logam
   $P(G)=\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{1}{2}$ dan $P(G)+P(G^T)=1$
   
   $\frac{1}{2}+P(G^T)=1$
   $P(G^T)=\frac{1}{2}$
   Jadi, peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah
   $P(X=6)=_{6}^{10}\textrm{C}\times P(G)^{6}\times P(G^{T})^{10-6}$
   
   $=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{10-6}$
   $=10 \times 3 \times 7\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$
   $=210\left ( \frac{1}{2} \right )^{10}$
2. 10 persen dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan dua buah benda kategori A
   Pembahasan
   Misalkan (A) adalah kejadian munculnya benda kategori A. Maka $P(A)=\frac{10}{100}=0,1$
   (A^T) adalah kejadian munculnya benda bukan kategori A. Maka
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $0,1+P(A^{T})=1$ $P(A^T)=0,9$
   Jadi, peluang berisikan dua benda kategori A adalah: $P(X=A)=_{2}^{30}\textrm{C}\times P(A)^{2}\times P(A^{T})^{30-2}$
   $=\frac{30 \times 29 \times 28!}{2 \times 1 \times 28!}(0,1)^{2}(0,9)^{30-2}$
   $=15 \times 29(0,1)^{2}(0,9)^{28}$
3. UN SMA Tapel 2014-2015 Program Studi IPA
   Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ...
   A. $\frac{180}{625}$
   B. $\frac{612}{625}$
   C. $\frac{216}{625}$
   D. $\frac{228}{625}$
   E. $\frac{230}{625}$
   Pembahasan
   Misalkan (A) adalah kejadian penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti, maka $P(A)=\frac{3}{5}$.
   $A^{T}$ adalah kejadian penjaga gawang profesional tidak mampu menahan tendangan penalti, maka peluangnya adalah $P(A^{T})$.
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $\frac{3}{5}+P(A^{T})=1$
   $P(A^{T})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
   $P(X=3)=_{3}^{5}\textrm{C}\left ( P(A) \right )^{3}\left ( P(A^{T}) \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5!}{(5-3)!\times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=5 \times 2 \times \left( \frac{3}{5} \right ) \left( \frac{3}{5} \right )^{2}\left( \frac{2}{5} \right )^{2}$
   $=\frac{216}{625}$
   Jadi, peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti adalah $\frac{216}{625}$
   Jawaban C
   

Perbedaan Integral Tentu dan Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu [Anti Turunan]

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendiferensialan, yaitu bentuk yang paling umum dari anti turunan. Notasi yang digunakan dalam anti turunan ini dikenalkan oleh Leibniz. Leibniz memakai lambang $\int{...dx}$.

Teorema-Teorema dalam Integral Tak Tentu [anti turunan]

1. $\int{x^p} dx=\frac{1}{p+1}\left(x^{p+1} \right )+c$
2. $\int{kf(x)}dx=k\int{f(x)dx}$
3. $\int{[f(x)+g(x)]}dx=\int{f(x)dx}+\int{g(x)}dx$
4. $\int{[f(x)-g(x)]}dx=\int{f(x)dx}-\int{g(x)dx}$
5. Jika (g) suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan (r) suatu bilangan rasional yang bukan (-1). Maka
   $\int{[g(x)]^{r}g'(x)}dx=\frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+C$
6. Integral Parsial: $\int UdV=UV-\int VdU$

Teorema-Teorema dalam Integral Tentu [Integral Riemann]

Integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar. Dari sini bisa dikatakan bahwa Integral Tentu berkaitan dengan luas daerah. Secara umum, $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$ menyatakan batasanluas daerah yang tercakup di antara kurva $y=f(x)$ dan sumbu-(x) dalam selang $[a,b]$, yang berarti bahwa tanda positif akan diberikan pada lua bagian-bagian yang berada di bagian atas sumbu-(x) dan tanda negatif diberikan untuk luas bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-(x).

Luas adalah bilangan tak negatif. Jika grafik $y=f(x)$ terletak di bawah sumbu-(x) maka $\int_{a}^{b}{f(x)}dx$ adalah bilangan negatif. Bilangan tersebut adalah negatif dari luas daerah yang dibatasi oleh $y=f(x), x=a, x=b$, dan (y=0).

Teorema-Teorema dalam Integral Tentu [Jumlah Riemann]

1. Jika fungsi (f) kontinu pada $[a,b]$ dan fungsi (F) adalah suatu anti turunan dari (f) pada $[a,b]$, maka $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$
2. $\int_{a}^{b}{kf(x)}dx=k\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
3. $\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx+\int_{a}^{b}{g(x)}dx$
4. $\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx-\int_{a}^{b}{g(x)}dx$
5. Jika (f) terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik (a,b) dan (c), maka
   $\int_{a}^{c}{f(x)}dx=\int_{a}^{b}{f(x)}dx+\int_{b}^{c}{f(x)}dx$
6. $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=-\int_{b}^{a}{f(x)}dx$ untuk (a>b)
7. $\int_{a}^{a}{f(x)}dx=0$
8. $\int_{-a}^{a}{f(x)}dx=2\int_{0}^{a}{f(x)}dx$; untuk fungsi genap
   fungsi genap saat $f(-x)=f(x)$
9. $\int_{-a}^{a}{f(x)}dx=0$; untuk fungsi ganjil
   fungsi ganjil saat $f(x)=-f(x)$
10. $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a+c}^{b+c}{f(x-c)}dx$, dengan memisalkan $x=u-c\Leftrightarrow u=x+c$
    $\int_{a}^{b}{f(x)}dx=\int_{a-c}^{b-c}{f(x+c)}dx$, dengan memisalkan $x=u+c\Leftrightarrow u=x-c$
11. Misalkan (g) mempunyai turunan kontinu pada $[a,b]$, dan misalkan (f) kontingu pada daerah nilai (g). Maka,
    $\int_{a}^{b}{f\left(g(x)\right)g'(x)dx}=\int_{g(a)}^{g(b)}{f(u)du}$
    Contoh:
    Hitunglah $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    Pembahasan:
    Cara 1
    Misalkan $u=x^{2}+2x+6$, sehingga $du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$,
    $x=0\rightarrow u=0^{2}+2.0+6=6$
    $x=1\rightarrow u=1^{2}+2.1+6=9$
    Jadi,
    $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{(2x+2)dx}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{\frac{du}{u^{2}}}$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{u^{-2}du}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{u} \right ]\begin{matrix} 9\\ \\6 \end{matrix}$

    $=-\frac{1}{18}-\left ( -\frac{1}{12} \right )=\frac{1}{36}$

    
    Cara 2
    Cara kedua ini mirip dengan cara pertama, hanya saja setelah di integralkan kembalikan (U) menjadi dalam variabel (x)
    Misalkan $u=x^{2}+2x+6$, sehingga $du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$,
    $\int_{0}^{1}{\frac{x+1}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$
    

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{2(x+1)}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{(2x+2)dx}{\left(x^{2}+2x+6 \right)^{2}}}dx$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{\frac{du}{u^{2}}}$

    $=\frac{1}{2}\int_{6}^{9}{u^{-2}du}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{u} \right ]\begin{matrix} 1\\ \\0 \end{matrix}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{x^{2}+2x+6} \right ]\begin{matrix} 1\\ \\0 \end{matrix}$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{1^{2}+2.1+6} \right ]-\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{0^{2}+2.0+6} \right ]$

    $=\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{8} \right ]-\left [ -\frac{1}{2}.\frac{1}{6} \right ]$

    $=-\frac{1}{18}-\left ( -\frac{1}{12} \right )=\frac{1}{36}$

Pembuktian Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Dalam belajar matematika, penting kiranya kita tahu asal-usul dari suatu rumus tertentu. Pada kesempatan ini akan dijabarkan bagaimana mencari rumus jari-jari dari lingkaran dalam segitiga. Pembuktiannya sebagai berikut.
Perhatikan gambar di bawah ini

Sebelum membuktikan rumus ini, perlu diketahui bahwa
Luas segitiga $=\frac{1}{2}\times$ Alas $\times$ Tinggi

Berdasarkan gambar di atas, $OR, OQ,$ dan $OP$ merupakan garis tinggi dari segitiga $\Delta AOC, \Delta AOB,$ dan $\Delta BOC$, maka
$L_{\Delta{AOB}}=\frac{1}{2}.AB.OR$
$L_{\Delta{AOC}}=\frac{1}{2}.AC.OQ$
$L_{\Delta{BOC}}=\frac{1}{2}.BC.OP$

$L_{\Delta{ABC}}=L_{\Delta{AOB}}+L_{\Delta{AOC}}+L_{\Delta{BOC}}$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.OR+\frac{1}{2}.AC.OQ+\frac{1}{2}.BC.OP$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$
$L_{\Delta{ABC}}=\frac{1}{2}.r.(AB+AC+BC)$
$L_{\Delta{ABC}}=r.s$ dengan $s=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$

Maka terbukti
$r=\frac{L_{\Delta{ABC}}}{s}$ dengan $s=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$

Berapakah sudut sin, cos dan tan sudut $108^{o}$ dan $36^{o}$???

Hal yang lumrah dalam matematika dalam bidang trigonometri adalah sudut-sudut yang istimewa (0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰) dimana kita tahu nilai sinus, kosinus maupun tangennya. Nah bagaimana kalau sudut (36⁰ dan 108⁰)...???

Apakah kita dapat menentukan nilai sinus, kosinus maupun tangen untuk sudut-sudut yang tadi tanpa menggunakan kalkulator..? Tentu bisa! berikut adalah langkah-langkah untuk mencari nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut. Silahkan disimak Sob!

Konsep dasar Trigonometri yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin (-a)=-sin (a)$

2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$

3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$

4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$

5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$

6. Persamaan kuadrat dengan (a) dan (b) sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$

7. $sin=\frac{depan}{miring}$

8. $cos=\frac{samping}{miring}$

9. $tan=\frac{depan}{samping}$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin (36^{o}+36^{o})-sin (36^{o}-36^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})-sin(0^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})$..........(1)

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})= sin(108^{o}+36^{o})-sin (108^{o}-36^{o})$

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})-sin(72^{o})$..........(2)

Jumlahkan (1) dan (2), maka di dapat:

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})+2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(180^{o}-144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(36^{o})$

$2cos(36^{o})+cos(108^{o})=1$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=\frac{1}{2}$ ..........(a)

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left(\frac{36^{o}+108^{o}}{2}\right).cos\left(\frac{36^{o}-108^{o}}{2}\right) $

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(-36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2\left(-cos\left (180^{o}- 72^{o} \right ) \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$\frac{1}{2}=-2cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$

$\frac{-1}{4}=cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$ ..........(b)

Dari (a) dan (b), dapat di bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $cos\left( 36^{0}\right )=x_1$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=x_2$

Persamaan kuadratnya menjadi

$x^{2}-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$

$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$

$4x^{2}-2x-1=0$ ........ Gunakan rumus ABC

$x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

$x_{12}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4.4.(-1)} }{2.4}$

$x_{12}=\frac{2\pm\sqrt{20} }{8}$

$x_{12}=\frac{2\pm2\sqrt{5} }{8}$

$x_{12}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Karena $cos\left( 36^{0}\right )$ bernilai positif dan $cos\left( 108^{0}\right )$ bernilai negatif, maka:

$cos\left( 36^{0}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Untuk mencari sinus dan tangen dari sudut tersebut, kita cari menggunakan Segitiga Phytagoras.

Untuk sudut $36^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2+2\sqrt{5})^{2}}$

$BC=\sqrt{64-(4+8\sqrt{5}+20)}$

$BC=\sqrt{64-(24+8\sqrt{5})}$

$BC=\sqrt{40-8\sqrt{5}}$

Maka di dapat $sin\left( 36^{0}\right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left(36^{0} \right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{2+2\sqrt{5}}$

Untuk sudut $108^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2-2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4-8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24-8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40+8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{2-2\sqrt{5}}$