Berkas Lingkaran

Berkas Lingkaran merupakan lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat dari titik potong dua lingkaran. Kalau kedua lingkaran itu $L_1=0$ dan $L_2=0$, maka berkas lingkaran itu $L_1+\lambda\ L_2=0$ dimana $L_1$ dan $L_2$ disebut dengan lingkaran dasar dan kedua titik potongnya disebut dengan titik-titik dasar.

Pada pembahasan kali ini, terdapat dua kasus dalam berkas lingkaran.
❤Kasus Pertama: Kedua lingkaran saling berpotongan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah dan berpotongan di dua titik yaitu titik $A$ dan $B$.
❤Kasus Kedua: Kedua lingkaran saling bersinggungan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah saling bersinggungan. Titik $A$ merupakan titik singgung kedua lingkaran.

     Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa dan pusatnya berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran dasarnya [sentral].

Berikut merupakan contoh soal dari berkas lingkaran
Soal 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $O$ dan titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-6x-8y-11=0$ dan $x^2+y^2-4x-6y-22=0$.
Pembahasan
      $L_1\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
      $L_2\equiv x^2+y^2-4x-6y-22=0$
Persamaan lingkaran yang ditanyakan akan berbentuk
      $L_1+\lambda L_2=0$
      $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
Karena lingkaran yang ditanyakan melalui $O$, maka substitusi $(0,0)$ ke $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
      $0^2+0^2-6.0-8.0-11+\lambda (0^2+0^2-4.0-6.0-22)=0$
      $-22\lambda=11$
      $\lambda=-\frac{1}{2}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah
$x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$x^2+y^2-6x-8y-11-\frac{1}{2}(x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$2x^2+2y^2-12x-16y-22-x^2-y^2+4x+6y+22=0$
$x^2+y^2-8x-10y=0$
Soal 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran $x^2+y^2-x+7y-3=0$ dan $x^2+y^2-5x-y+1=0$ yang berpusat di garis $x-y=0$
Pembahasan
    $L_1\equiv x^2+y^2-x+7y-3=0$
    $L_2\equiv x^2+y^2-5x-y+1=0$
Berdasarkan sifat istimewa dari berkas lingkaran bahwa pusat dari berkas lingkaran berada pada garis yang menghubungkan kedua pusat dari lingkaran dasar. Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, pusat lingkaran 1[$P_1(\frac{1}{2},-\frac{7}{2})$] dan lingkaran 2 [$P_2(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$]. Maka persamaan garis yang menghubungkan kedua persamaan lingkaran tersebut adalah
    $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{4}=\frac{x-\frac{1}{2}}{2}$
    $2y+7=4x-2$
    $4x-2y=9$
Karena titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. Maka titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada perpotongan garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. $x$ dan $y$ kita cari menggunakan cara substitusi atau eliminasi dari kedua persamaan tersebut, dan di dapat hasilnya $x=\frac{9}{2}$ dan $y=\frac{9}{2}$. Maka titik pusatnya $\left ( \frac{9}{2},\frac{9}{2} \right )$.
Persamaan lingkaran yang di cari akan berbentuk $L_1+\lambda L_2=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $(1+\lambda )x^2+(1+\lambda )y^2-(1+5\lambda)x+(7-\lambda)y-3+\lambda=0$
    $x^2+y^2-\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right )x+\left ( \frac{7-\lambda}{1+\lambda}\right )y+\frac{3+\lambda}{1+\lambda}=0$
Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, maka absis [sumbu-x] dari pusat lingkaran tersebut adalah
    $-\frac{1}{2}\left ( -\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right ) \right )=\frac{9}{2}$
    $\frac{1+5\lambda}{1+\lambda}=9$
    $1+5\lambda=9+9\lambda$
    $\lambda=-2$
Ordinat dari pusat lingkaran juga bisa di gunakan, dan tetap di dapat $\lambda=-2$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2(x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2x^2+-2y^2+10x+2y-2=0$
    $x^2+y^2-9x-9y+5=0$

Soal Kuasa, Titik Kuasa dan Garis Kuasa

Soal 1. Berapakah kuasa $(3,2)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+1=0$? Apakah titik tersebut di dalam atau di luar lingkaran?

Penyelesaian
Kuasa titik $(3,2)=(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ adalah $(x_1)^2+(y_1)^2+2x_1-6y_1+12$
$=(3)^2+(2)^2+2.3-6.2+1$
$=9+4+6-12+1=8$
❤Jadi kuasanya $8$

Soal 2. Tentukan garis kuasa kedua lingkaran $x^2+y^2=25$ dan $x^2+y^2-6x-8y-11=0$.

Penyelesaian
$L_1\equiv x^2+y^2-25=0$
$L_2\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
Garis kuasa kedua lingkaran tersebut akan berbentuk $L_1-L_2=0$
$x^2+y^2-25=0-\left ( x^2+y^2-6x-8y-11=0 \right )$
$6x+8y+11-25=0$
$3x+4y-7=0$
❤Jadi garis kuasanya adalah $3x+4y-7=0$

Soal 3. Tentukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran $(x-1)^2+(y+2)^2=3$, $x^2+(y-2)^2=5$ dan $(x+5)^2+y^2=16$.

Penyelesaian
$L_1\equiv\ (x-1)^2+(y+2)^2-3=0$
         $x^2-2x+1+y^2+4y+4-3=0$
         $x^2+y^2-2x+4y+2=0$
$L_2\equiv\ x^2+(y-2)^2=5$
         $x^2+y^2-4y+4-5=0$
         $x^2+y^2-4y-1=0$
$L_3\equiv\ (x+5)^2+y^2=16$
         $x^2+10x+25+y^2-16=0$
         $x^2+y^2+10x+9=0$
Berdasarkan tiga persamaan lingkaran, dapat dibuat tiga  persamaan garis kuasa. Tetapi untuk mencari titik kuasa cukup diperlukan dua persamaan garis kuasa.
$g_1\equiv L_1-L_2=0$
         $x^2+y^2-2x+4y+2-(x^2+y^2-4y-1)=0$
         $-2x+8y+3=0$ .................... $(a)$
$g_1\equiv L_2-L_3=0$
         $x^2+y^2-4y-1-(x^2+y^2+10x+9)=0$
         $-10x-4y-10=0$ .................. $(b)$
❤Berdasarkan persamaan $(a)$ dan $(b)$, dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi di dapat $x=-\frac{17}{22}$ dan  $y=-\frac{25}{44}$

Klik untuk melihat materi kuasa, titik kuasa dan garis kuasa

Apa Itu Kuasa, Garis Kuasa dan Titik Kuasa

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Satu Lingkaran☺☺☺
Perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, terdapat banyak sekali garis yang dapat ditarik dari titik (P) ke lingkaran dengan pusat (L). Beberapa garis tersebut adalah garis $c,d,e,f,g$. Dapat di lihat di gambar bahwa $PA.PA'=PB.PB'=PC.PC'=(PR)^2=(PQ)^2=(PL)^2-r^2$ [Pembuktian bisa menggunakan kesebangunan]. Hasil kali yang tetap tersebut merupakan kuasa titik (P) terhadap lingkaran (L). Kuasa titik (P) terhadap lingkaran (L) kita sebut (K_P). Jadi $K_P=(PL)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv (x)^2+(y)^2=r^2$ adalah $K_P=(x_1)^2+(y_1)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $K_P=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv x^2+y^2+Ax+By+C$ adalah $K_P=(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C$.

Jadi kesimpulan kuasa titik terhadap lingkaran adalah:

1. $K_P>0$, maka titik (P) berada di luar lingkaran

2. $K_P=0$, maka titik (P) berada pada lingkaran

3. $K_P<0$, maka titik (P) berada di dalam lingkaran

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Dua Lingkaran☺☺☺

Perhatikan gambar di bawah!

Garis hubung antara (L_1) dan (L_2) di sebut sentral. Misalkan titik (P) mempunyai kuasa yang sama terhadap (L_1) dan (L_2). Maka:

Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L_1$ adalah $K_PL_1=(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C$
Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L_2$ adalah $K_PL_2=(x_1)^2+(y_1)^2+Qx_1+Ry_1+S$
Karena mempunyai kuasa yang sama, maka $K_PL_1=K_PL_2$
$(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C=$
$(x_1)^2+(y_1)^2+Qx_1+Ry_1+S$
$(A-Q)x_1+(B-R)y_1+(C-S)=0$
Bentuk di atas adalah linier, maka grafiknya berupa garis lurus yang di sebut dengan garis kuasa dua lingkaran.

❤ Misalkan terdapat dua lingkaran  (L_1) dan (L_2), Garis Kuasa kedua lingkaran tersebut adalah $L_1-L_2=0$ atau $L_2-L_1=0$. 

Garis kuasa tegak lurus dengan sentral.

❤ Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran merupakan sebuah garis kuasa yang tegak lurus dengan sentral.

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Tiga Lingkaran☺☺☺
Perhatikan gambar di bawah ini!

❤Tiga buah lingkaran hanya mempunyai sebuah titik kuasa yakni titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap tiga lingkaran.

Langkah mencari titik kuasa:

Cari garis $g_1,\ g_2,\ g_3$ dengan ketentuan $g_1\equiv L_1-L_2=0$, $g_2\equiv L_2-L_3=0$, $g_3\equiv L_3-L_1=0$. Mencari titik kuasa cukup diperlukan dua garis kuasa dari tiga garis kuasa yang di dapat dengan cara eliminasi, substitusi, maupun metode lainnya untuk mencari titik potong kedua garis. Garis yang digunakan yaitu $g_1\ dan \  g_2$ atau $g_1\ dan\  g_3$ atau $g_2\ dan\  g_3$. Dari ketiga pilihan tersebut akan mendapatkan hasil yang sama.

Klik untuk melihat soal mengenai kuasa, garis kuasa dan titik kuasa

Menentukan Titik Belok dari Turunan Pertama dan Turunan Kedua

Penggunaan turunan untuk menggambar grafik adalah untuk menentukan titik stasioner dan titik belok. Namun pada pembahasan sekarang akan di bahas titik belok. Sebelum kita menentukan cara titik belok, terlebih dahulu kita pengaruh turunan pertama dan kedua terhadap grafik.

$\bigstar$ Turunan Pertama

Misalkan (f) kontinu pada interval (I) dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari (I).

1. Jika $f'(x)>0$ untuk semua titik-dalam (I), maka (f) naik pada (I)

2. Jika $f'(x)<0$ untuk semua titik-dalam (I), maka (f) turun pada (I)

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, garis $p$ merupakan garis singgung grafik. Perlu di ingat bahwa gradien garis singgung merupakan turunan dari grafik. Garis $p$ miring ke kanan maka mempunyai gradien positif [$f'(x)>0$]. Sedangkan Garis $t$ miring ke kiri maka mempunyai gradien negatif [$f'(x)<0$]

Dapat dilihat bahwa, pada rentang yang mempunyai garis singgung bergradien positif grafik naik, sendangkan pada rentang yang mempunyai garis singgung bergradien negatif grafik turun

$\bigstar$ Turunan Kedua

Misalkan (f) kontinu pada interval (I) dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari (I)

1. Jika $f''(x)>0$ untuk semua titik-dalam (I), maka $f(x)$ cekung ke atas

2. Jika $f''(x)<0$ untuk semua titik-dalam (I), maka $f(x)$ cekung ke atas

Selain untuk melihat kecekungan dari grafik, kegunaan turunan kedua adalah untuk menentukan titik belok dari suatu grafik. 

Menentukan titik belok.

Misalkan $f(x)$ adalah fungsi yang terdeferensialkan dua kali pada $x=p$, dan $(f''(p)=0)$.

1. Titik $(p,f(p))$ merupakan titik belok jika $f''(x)<0$ untuk (x<a) fungsi (f(x)) cekung ke bawah dan $f''(x)>0$ untuk (x>a) fungsi (f(x)) cekung ke atas

2. Titik $(p,f(p))$ merupakan titik belok jika $f''(x)>0$ untuk (x<a) fungsi (f(x)) cekung ke atas dan $f''(x)<0$ untuk (x>a) fungsi (f(x)) cekung ke bawah.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di samping, titik merupakan titik belok, karena di sebelah kiri titik D kurva cekung ke bawah dan di sebelah kanan titik D kurva cekung ke atas. Atau sebaliknya, Titik belok terjadi saat di sebelah kiri titik tersebut kurva cekung ke atas dan di sebelah kanan titik tersebut kurva cekung ke bawah.

Titik D di sebut titik belok juga bisa kita uji menggunakan turunan pertama. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa titik D adalah titik belok karena di sebelah kiri dan kanan titik D adalah fungsi naik. Titik belok juga terjadi saat di sebelah kiri dan kanan titik tersebut adalah fungsi turun.
Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh berikut.
Soal 1. Tentukan titik belok dan titik stasioner dari fungsi berikut.
$y=x^4-2x^3$
Jawab.

$y=f(x)=x^4-2x^3$
$y'=f'(x)=4x^3-6x^2$
$0=4x^3-6x^2$
$0=2x^3-3x^2$
$0=x^2(2x-3)$
$x=0\ atau\ x=\frac{3}{2}$
Untuk uji tanda turunan pertama perhatikan gambar di bawah!

Dari Uji titik tersebut dapat dilihat bahwa titik stasioner terjadi saat $x=0$ dan $x=\frac{3}{2}$. Pada saat $x=0$ sekaligus sebagai titik belok karena di sebelah kiri maupun kanan titik tersebut disebut sebagai fungsi turun.

Dari turunan pertama di atas, di dapat turunan keduanya
$y''=f''(x)=12x^2-12x$
$0=12x^2-12x$
$0=12x(x-1)$
$x=0\ atau\ x=1$
Untuk uji tanda turunan kedua perhatikan gambar di bawah!

Dari uji titik tersebut, terlihat bahwa titik belok ada pada saat $x=0$ dan $x=1$ karena di sebelah kiri maupun kanan titik tersebut berbeda arah kecekungannya.
Berikut adalah gambar dari grafik di atas.

Soal Masuk Perguruan Tinggi Materi Trigonometri

Soal UMB 2015
Jika $\Theta$ adalah sudut di kuadran 4 yang memenuhi $tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$, maka $sin\ \Theta +cos\ \Theta = ...$
A. $1-\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
C. $-\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
D. $-(1-\sqrt{3})$
E. $2-\sqrt{3}$

Pembahasan
$\bigstar\ tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$
$\frac{sin^2\ \Theta}{cos^2\ \Theta } =4sin^2\ \Theta$
$\frac{1}{cos^2\ \Theta } =4,\ karena\ sin^2\ \Theta\neq 0$
$cos^2\ \Theta =\frac{1}{4}$
$cos\ \Theta =\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
$cos\ \Theta =\pm \frac{1}{2}$
$\bigstar\ Ambil\ cos\ \Theta =\frac{1}{2},\ karena\ \Theta\ di\ kuadran\ 4$
Untuk mencari $cos\ \Theta$ gunakan Pytagoras, dan hasilnya akan seperti berikut.

dari gambar di samping, di dapat $sin\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, tanda negatif karena berada nilai (sinus) di kuadran 4 adalah negatif. Jadi $sin\ \Theta +cos\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
Jawaban B

Soal UMB 2016
Pada gambar $\Delta ABC$ berikut. $\frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}=$

A. $\frac{a+b+c}{abc}$
B. $\frac{a+b+c}{2abc}$
C. $\frac{2(a+b+c)}{abc}$
D. $\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$
E. $\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$

Catatan Untuk Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, kita gunakan aturan (cosinus). Berdasarkan gambar di atas, maka aturan (cosinus)-nya
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ \alpha \Leftrightarrow cos\ \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ \beta \Leftrightarrow cos\ \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ \gamma \Leftrightarrow cos\ \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Pembahasan
$\bigstar\ \frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}$
$=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}+\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{b}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{c}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
Jawaban E

Rumus dan Teorema Penting dalam Integral

Setelah kita memahami perbedaan integral tentu dan tak tentu. Berikut merupakan rumus-rumus dan beberapa teorema yang penting dalam integral:

1. [Teorema]: Jika $f$ periodik dengan periode (p), maka $\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$
2. [Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral]: Jika (f) kontinu pada $[a,b]$, maka terdapat suatu bilangan (c) antara (a) dan (b) sedemikian sehingga $\int_{a}^{b}f(t)dt=f(c)(b-a)$
3. [Teorema pendeferensialan suatu Integral Tentu]: Andaikan (f) kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ dan andaikan (x) sebuah $(variabel)$ titik dalam $[a,b]$. Maka $D_x\left [ \int_{a}^{x}f(t)dt \right ]=f(x)$
   $D_x$ merupakan turunan terhadap (x)
4. [Teorema Keterbatasan]: Jika (f) terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $m\leq f(x)\leq M$ untuk semua (x) dalam $[a,b]$, maka $m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$
5. [Teorema Perbandingan]: Jika (f) dan (g) terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $f(x)\leq g(x)$ untuk semua (x) dalam $[a,b]$, maka $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int x^{-1}dx=ln|x|+c$
2. $\int e^x\ dx=e^x+C$
3. $\int a^x\ dx=\frac{a^x}{ln\ a}+C$
4. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=sin^{-1}\frac{u}{a}+C$
5. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}tan^{-1}\ \frac{u}{a}+C$
6. $\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{u+a}{u-a} \right |+C$
7. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}sec^{-1}\left | \frac{u}{a} \right |+C$

$\bigstar$ Integral Trigonometri

1. $\int cos\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sin\ (ax+b)+c$
2. $\int sin\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos\ (ax+b)+c$
3. $\int sec^2\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}tan\ (ax+b)+c$
4. $\int csc^2\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cot\ (ax+b)+c$
5. $\int sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sec\ (ax+b)+c$
6. $\int csc\ (ax+b).cot\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}csc\ (ax+b)+c$
7. $\int tan\ u\ dx=-ln|cos\ u|+C$
8. $\int cot\ u\ dx=ln|sin\ u|+C$
9. $\int sec\ u\ dx=ln|sec\ u+tan\ u|+C$
10. $\int csc\ u\ dx=ln|csc\ u-cot\ u|+C$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int ue^u\ du=(u-1)e^u+C$
2. $\int ln\ u\ du=u\ ln\ u-u+C$
3. $\int u^ne^u\ du=u^ne^u-n\int u^{n-1}e^u\ du$
4. $\int u^n\ ln\ u\ du=\frac{u^{n+1}}{n+1}ln\ u-\frac{u^{n+1}}{(n+1)^2}+C$
5. $\int e^{au}sin\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ sin\ bu-b\ cos\ bu)+C$
6. $\int e^{au}cos\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ cos\ bu-b\ sin\ bu)+C$

Soal SBMPTN Integral

Soal SBMPTN 2017
Didefinisikan $f(x)$ fungsi ganjil $\leftrightarrow f(-x)=-f(x)$ dan $f(x)$ fungsi genap $\leftrightarrow f(-x)=f(x)$ untuk $x\epsilon\ riil$. Jika $\int_{-4}^{4}{f(x)(sin\ x+1)}dx=8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^{4}{f(x)}dx=4$, maka $\int_{-2}^{0}{f(x)}dx=$ ...

Catatan untuk pembahasan:
Diketahui di soal bahwa $f(x)$ fungsi genap, maka $\int_{-4}^{4}f(x)dx=2\int_{0}^{4}f(x)dx$.
$sin\ x$ adalah fungsi ganjil $(sin\ (-x)=-sin\ (x))$, maka $f(x).sin\ x$ adalah fungsi ganjil, jadi $\int_{-4}^{4}(f(x).sin\ x)dx=0$.

Pembahasan
$\bigstar\ \int_{-4}^{4}{f(x)(sin\ x+1)}dx=8$
$\int_{-4}^{4}{\left ( f(x).sin\ x+f(x) \right )}dx=8$
$\int_{-4}^{4}{\left ( f(x).sin\ x \right )}dx+\int_{-4}^{4}f(x)dx=8$
$0+\int_{-4}^{4}f(x)dx=8$
$\int_{-4}^{4}f(x)dx=8$
$2\int_{0}^{4}f(x)dx=8$
$\int_{0}^{4}f(x)dx=4$
$\bigstar\ \int_{-2}^{4}f(x)dx=\int_{-2}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{4}f(x)dx$
$4=\int_{-2}^{0}f(x)dx+4$
$\int_{-2}^{0}f(x)dx=0$

Soal Pola SBMPTN
Jika $\int_{-2}^{2}(x^3+3|x|+2x)dx=2p$, tentukan nilai p=...

Pembahasan:
Definisi harga mutlak $|x|=\left \{ \begin{matrix}x\ untuk\ x\geq 0\\-x\ untuk\ x<0\end{matrix} \right.$. Maka berdasarkan definisi tersebut,

$\int_{-2}^{2}(x^3+3|x|+2x)dx=2p$

$\int_{-2}^{0}(x^3+3(-x)+2x)dx+\int_{0}^{2}(x^3+3(x)+2x)dx=2p$
$\int_{-2}^{0}(x^3-x)dx+\int_{0}^{2}(x^3+5x)dx=2p$
$\left [ \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}0\\ \\-2 \end{matrix}+\left [ \frac{1}{4}x^4-\frac{5}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}2\\ \\0 \end{matrix}=2p$
$\left ( 0-\left ( \frac{1}{4}.16-\frac{1}{2}.4 \right ) \right )+\left ( \left ( \frac{1}{4}.16-\frac{5}{2}.4 \right )-0 \right )=2p$
$-(4-2)+4+10=2p$
$12=2p\Leftrightarrow p=6 $