SUDUT DUA BUAH LINGKARAN

Sudut dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Misalkan di ketahui:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di titik (P) dan masing-masing mempunyai garis singgung $g_1$ dan $g_2$ seperti gambar di bawah. Sudut antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah $\alpha$.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

$\angle L_2PL_1=\angle L_2PB+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle CPB=\angle CPL_1+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle L_2PL_1=\angle CPB$

Jadi $\alpha =180^o-\angle CPB=180^o-\angle L_2PL_1$

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran. Lihat gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $r_1\perp r_2$, sehingga $\Delta L_1PL_2$ adalah segitiga siku-siku di (P). Diketahui $L_1\left ( -\frac{1}{2}A_1,-\frac{1}{2}B_1 \right ), L_2\left ( -\frac{1}{2}A_2,-\frac{1}{2}B_2 \right ), r_1=\sqrt{\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1}$ dan $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2}$.
Sehingga berlaku
$(L_1L_2)^2=(r_1)^2+(r_2)^2$
$\left ( -\frac{1}{2}A_2-(-\frac{1}{2}A_1) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B_2-(-\frac{1}{2}B_1) \right )^2=\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1+\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2$
$\frac{1}{4}(A_2-A_1)^2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)^2=\frac{1}{4}((A_1)^2+(B_1)^2-4C_1)+\frac{1}{4}((A_2)^2+(B_2)^2-4C_2)$
$(A_2-A_1)^2+(B_2-B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$(A_2)^2-2A_1A_2+(A_1)^2+(B_2)^2-2B_1B_2+(B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$-2A_1A_2-2B_1B_2=4C_1-4C_2$
$A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Jika diketahui lingkaran:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
maka, kedua lingkaran tersebut tegak lurus jika $A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Lihat juga: Materi Lingkaran, UN Lingkaran

GARIS POLAR

Jika terdapat titik $P(x_0,y_0)$ berada di luar lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$, maka dari titik (P) dapat di buat dua garis singgung yang menyinggung lingkaran (L) di titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Garis singgung tersebut berturut-turut (g_1) dan (g_2), dimana:

   $g_1:x_1x+y_1y=r^2$

   $g_2:x_2x+y_2y=r^2$

Karena titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ berada pada lingkaran (L).

Lihat seperti gambar di bawah.

Garis singgung (g_1) dan (g_2) melalui titik $P(x_0,y_0)$, maka berlaku:

$x_1x_0+y_1y_0=r^2$ dan $x_2x_0+y_2y_0=r^2$

dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ memenuhi persamaan $x_0x+y_0y=r^2$.

Jadi
❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah $p:x_0x+y_0y=r^2$

Maka berlaku pula untuk bentuk lingkaran yang lain.

❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

❤Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_0x+y_0y+\frac{1}{2}A(x_0+x)+\frac{1}{2}B(y_0+y)+C=0$

Dapat disimpulkan beberapa hal mengenai garis polar yaitu sebagai berikut.

1. Jika suatu titik berada di luar lingkaran misalkan titik (A), maka garis kutub/polarnya memotong lingkaran di dua titik. Lihat gambar di bawah

2. Jika suatu titik berada pada lingkaran misalkan titik (B), maka garis kutub/polarnya adalah garis singgung lingkaran di titik (B). Lihat gambar di bawah

3. Jika suatu titik berada di dalam lingkaran misalkan titik (C), maka garis kutub/polarnya tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Lihat gambar di bawah

Dalam soal garis polar ini biasanya digunakan untuk mencari garis singgung suatu lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Contohnya bisa di lihat di bawah ini.
Diketahui lingkaran $L:x^2+y^2=16$ dan titik $P(-3,4)$ di luar lingkaran. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran (L) yang melalui titik (P).
Jawab
👉 Persamaan polar/kutub dari titik $P(-3,4)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=16$ adalah $-3x+4y=16$
Persamaan polar $-3x+4y=16$ memotong lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka kita perlu mencari titik potongnya.
👉 $-3x+4y=16\Leftrightarrow y=\frac{16+3x}{4}\Leftrightarrow y=4+\frac{3}{4}x$, kemudian substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=16$

$x^2+\left ( 4+\frac{3}{4}x \right )^2=16$

$x^2+16+6x+\frac{9}{16}x^2=16$

$x^2+\frac{9}{16}x^2+6x=0$

$16x^2+9x^2+96x=0$

$25x^2+96x=0$

$x(25x+96)=0$

$x=0\ atau\ x=-\frac{96}{25}$

Untuk $x=0\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}(0)=4$. Jadi titik potongnya $(0,4)$

Untuk $x=-\frac{96}{25}\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}\left ( -\frac{96}{25} \right )=4-\frac{72}{25}=\frac{28}{25}$. Jadi titik potongnya $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$

Titik $(0,4)$ dan $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ merupakan titik singgung yang berada pada lingkaran. Jadi bisa kita buat persamaan garis singgung di titik tersebut.

👉 Untuk titik singgung $(0,4)$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya  $0x+4y=16\Leftrightarrow 4y=16\Leftrightarrow y=4$

👉 Untuk titik singgung $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya $-\frac{96}{25}x+\frac{28}{25}y=16\Leftrightarrow -96x+28y=400\Leftrightarrow -24x+7y=100$

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN KUTUB

❤ Koordinat Kutub❤
Dalam menentukan posisi pada bidang datar, kita sudah mengenal koodinat kartesius. Selain koordinat kartesius, posisi suatu benda juga dapat ditentukan melalui koordinat kutub. Koordinat kutub ini sering digunakan oleh tentara-tentara untuk menandakan lokasi suatu obyek. 

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub [polar axis], sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama dengan huruf O disebut kutub atau titik asal [origin]. Biasanya sumbu kutub digambar mendatar dan mengarah ke kanan, dan oleh karenanya sumbu kutub dapat dilihat sebagai sumbu (x) positif di dalam sistem koordinat kartesius, seperti tampak pada gambar berikut.

Jika $r$ adalah jari-jari lingkaran dan $\theta$ adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh sinar garis dengan sumbu kutub tersebut, maka $(r,\theta)$ adalah pasangan koordinat kutub [polar coordinate] untuk titik (P) dan ditulis $P(r,\theta)$. Perhatikan gambar berikut:

Titik-titik yang dilukiskan dengan koordinat kutub akan mudah digambar, apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas grafik kutub telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar garis yang memancar dari titik kutub. Gambar berikut merupakan beberapa titik yang diplot pada sebuah kertas/kisi kutub.

❤ Persamaan Kutub❤
Seperti halnya sistem koordinat kartesius yang dapat disusun persamaan kartesius dengan peubah-peubah $x$ dan $y$, maka dalam sistem koordinat kutub juga dapat disusun persamaan yang dinamakan persamaan kutub dengan peubah-peubah $r$ dan $\theta$.
Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan tersebut. Cara yang paling mendasar untuk menggambar sebuah grafik adalah menyusun tabel yang berisi nilai-nilai, memplot titik-titik yang bersesuaian, dan kemudian menghubungkan titik-titik tersebut. 
Berikut merupakan contoh persamaan kutub dan grafiknya pada koordinat kutub.
1. Gambarlah grafik dari $r = 8\ sin\ \theta $
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai (r) yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut. 

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.

2. Gambarlah grafik dari $r-5\ cos\ \theta =0$
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai (r) yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.

Berkas Lingkaran

Berkas Lingkaran merupakan lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat dari titik potong dua lingkaran. Kalau kedua lingkaran itu $L_1=0$ dan $L_2=0$, maka berkas lingkaran itu $L_1+\lambda\ L_2=0$ dimana $L_1$ dan $L_2$ disebut dengan lingkaran dasar dan kedua titik potongnya disebut dengan titik-titik dasar.

Pada pembahasan kali ini, terdapat dua kasus dalam berkas lingkaran.
❤Kasus Pertama: Kedua lingkaran saling berpotongan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah dan berpotongan di dua titik yaitu titik $A$ dan $B$.
❤Kasus Kedua: Kedua lingkaran saling bersinggungan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah saling bersinggungan. Titik $A$ merupakan titik singgung kedua lingkaran.

     Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa dan pusatnya berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran dasarnya [sentral].

Berikut merupakan contoh soal dari berkas lingkaran
Soal 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $O$ dan titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-6x-8y-11=0$ dan $x^2+y^2-4x-6y-22=0$.
Pembahasan
      $L_1\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
      $L_2\equiv x^2+y^2-4x-6y-22=0$
Persamaan lingkaran yang ditanyakan akan berbentuk
      $L_1+\lambda L_2=0$
      $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
Karena lingkaran yang ditanyakan melalui $O$, maka substitusi $(0,0)$ ke $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
      $0^2+0^2-6.0-8.0-11+\lambda (0^2+0^2-4.0-6.0-22)=0$
      $-22\lambda=11$
      $\lambda=-\frac{1}{2}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah
$x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$x^2+y^2-6x-8y-11-\frac{1}{2}(x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$2x^2+2y^2-12x-16y-22-x^2-y^2+4x+6y+22=0$
$x^2+y^2-8x-10y=0$
Soal 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran $x^2+y^2-x+7y-3=0$ dan $x^2+y^2-5x-y+1=0$ yang berpusat di garis $x-y=0$
Pembahasan
    $L_1\equiv x^2+y^2-x+7y-3=0$
    $L_2\equiv x^2+y^2-5x-y+1=0$
Berdasarkan sifat istimewa dari berkas lingkaran bahwa pusat dari berkas lingkaran berada pada garis yang menghubungkan kedua pusat dari lingkaran dasar. Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, pusat lingkaran 1[$P_1(\frac{1}{2},-\frac{7}{2})$] dan lingkaran 2 [$P_2(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$]. Maka persamaan garis yang menghubungkan kedua persamaan lingkaran tersebut adalah
    $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{4}=\frac{x-\frac{1}{2}}{2}$
    $2y+7=4x-2$
    $4x-2y=9$
Karena titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. Maka titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada perpotongan garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. $x$ dan $y$ kita cari menggunakan cara substitusi atau eliminasi dari kedua persamaan tersebut, dan di dapat hasilnya $x=\frac{9}{2}$ dan $y=\frac{9}{2}$. Maka titik pusatnya $\left ( \frac{9}{2},\frac{9}{2} \right )$.
Persamaan lingkaran yang di cari akan berbentuk $L_1+\lambda L_2=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $(1+\lambda )x^2+(1+\lambda )y^2-(1+5\lambda)x+(7-\lambda)y-3+\lambda=0$
    $x^2+y^2-\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right )x+\left ( \frac{7-\lambda}{1+\lambda}\right )y+\frac{3+\lambda}{1+\lambda}=0$
Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, maka absis [sumbu-x] dari pusat lingkaran tersebut adalah
    $-\frac{1}{2}\left ( -\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right ) \right )=\frac{9}{2}$
    $\frac{1+5\lambda}{1+\lambda}=9$
    $1+5\lambda=9+9\lambda$
    $\lambda=-2$
Ordinat dari pusat lingkaran juga bisa di gunakan, dan tetap di dapat $\lambda=-2$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2(x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2x^2+-2y^2+10x+2y-2=0$
    $x^2+y^2-9x-9y+5=0$

Soal Kuasa, Titik Kuasa dan Garis Kuasa

Soal 1. Berapakah kuasa $(3,2)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+1=0$? Apakah titik tersebut di dalam atau di luar lingkaran?

Penyelesaian
Kuasa titik $(3,2)=(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ adalah $(x_1)^2+(y_1)^2+2x_1-6y_1+12$
$=(3)^2+(2)^2+2.3-6.2+1$
$=9+4+6-12+1=8$
❤Jadi kuasanya $8$

Soal 2. Tentukan garis kuasa kedua lingkaran $x^2+y^2=25$ dan $x^2+y^2-6x-8y-11=0$.

Penyelesaian
$L_1\equiv x^2+y^2-25=0$
$L_2\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
Garis kuasa kedua lingkaran tersebut akan berbentuk $L_1-L_2=0$
$x^2+y^2-25=0-\left ( x^2+y^2-6x-8y-11=0 \right )$
$6x+8y+11-25=0$
$3x+4y-7=0$
❤Jadi garis kuasanya adalah $3x+4y-7=0$

Soal 3. Tentukan sebuah titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap ketiga lingkaran $(x-1)^2+(y+2)^2=3$, $x^2+(y-2)^2=5$ dan $(x+5)^2+y^2=16$.

Penyelesaian
$L_1\equiv\ (x-1)^2+(y+2)^2-3=0$
         $x^2-2x+1+y^2+4y+4-3=0$
         $x^2+y^2-2x+4y+2=0$
$L_2\equiv\ x^2+(y-2)^2=5$
         $x^2+y^2-4y+4-5=0$
         $x^2+y^2-4y-1=0$
$L_3\equiv\ (x+5)^2+y^2=16$
         $x^2+10x+25+y^2-16=0$
         $x^2+y^2+10x+9=0$
Berdasarkan tiga persamaan lingkaran, dapat dibuat tiga  persamaan garis kuasa. Tetapi untuk mencari titik kuasa cukup diperlukan dua persamaan garis kuasa.
$g_1\equiv L_1-L_2=0$
         $x^2+y^2-2x+4y+2-(x^2+y^2-4y-1)=0$
         $-2x+8y+3=0$ .................... $(a)$
$g_1\equiv L_2-L_3=0$
         $x^2+y^2-4y-1-(x^2+y^2+10x+9)=0$
         $-10x-4y-10=0$ .................. $(b)$
❤Berdasarkan persamaan $(a)$ dan $(b)$, dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi di dapat $x=-\frac{17}{22}$ dan  $y=-\frac{25}{44}$

Klik untuk melihat materi kuasa, titik kuasa dan garis kuasa

Apa Itu Kuasa, Garis Kuasa dan Titik Kuasa

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Satu Lingkaran☺☺☺
Perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, terdapat banyak sekali garis yang dapat ditarik dari titik (P) ke lingkaran dengan pusat (L). Beberapa garis tersebut adalah garis $c,d,e,f,g$. Dapat di lihat di gambar bahwa $PA.PA'=PB.PB'=PC.PC'=(PR)^2=(PQ)^2=(PL)^2-r^2$ [Pembuktian bisa menggunakan kesebangunan]. Hasil kali yang tetap tersebut merupakan kuasa titik (P) terhadap lingkaran (L). Kuasa titik (P) terhadap lingkaran (L) kita sebut (K_P). Jadi $K_P=(PL)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv (x)^2+(y)^2=r^2$ adalah $K_P=(x_1)^2+(y_1)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $K_P=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2-r^2$.

❤Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L\equiv x^2+y^2+Ax+By+C$ adalah $K_P=(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C$.

Jadi kesimpulan kuasa titik terhadap lingkaran adalah:

1. $K_P>0$, maka titik (P) berada di luar lingkaran

2. $K_P=0$, maka titik (P) berada pada lingkaran

3. $K_P<0$, maka titik (P) berada di dalam lingkaran

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Dua Lingkaran☺☺☺

Perhatikan gambar di bawah!

Garis hubung antara (L_1) dan (L_2) di sebut sentral. Misalkan titik (P) mempunyai kuasa yang sama terhadap (L_1) dan (L_2). Maka:

Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L_1$ adalah $K_PL_1=(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C$
Kuasa titik $P(x_1,y_1)$ terhadap $L_2$ adalah $K_PL_2=(x_1)^2+(y_1)^2+Qx_1+Ry_1+S$
Karena mempunyai kuasa yang sama, maka $K_PL_1=K_PL_2$
$(x_1)^2+(y_1)^2+Ax_1+By_1+C=$
$(x_1)^2+(y_1)^2+Qx_1+Ry_1+S$
$(A-Q)x_1+(B-R)y_1+(C-S)=0$
Bentuk di atas adalah linier, maka grafiknya berupa garis lurus yang di sebut dengan garis kuasa dua lingkaran.

❤ Misalkan terdapat dua lingkaran  (L_1) dan (L_2), Garis Kuasa kedua lingkaran tersebut adalah $L_1-L_2=0$ atau $L_2-L_1=0$. 

Garis kuasa tegak lurus dengan sentral.

❤ Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap dua buah lingkaran merupakan sebuah garis kuasa yang tegak lurus dengan sentral.

☺☺☺Kuasa Titik Terhadap Tiga Lingkaran☺☺☺
Perhatikan gambar di bawah ini!

❤Tiga buah lingkaran hanya mempunyai sebuah titik kuasa yakni titik yang mempunyai kuasa yang sama terhadap tiga lingkaran.

Langkah mencari titik kuasa:

Cari garis $g_1,\ g_2,\ g_3$ dengan ketentuan $g_1\equiv L_1-L_2=0$, $g_2\equiv L_2-L_3=0$, $g_3\equiv L_3-L_1=0$. Mencari titik kuasa cukup diperlukan dua garis kuasa dari tiga garis kuasa yang di dapat dengan cara eliminasi, substitusi, maupun metode lainnya untuk mencari titik potong kedua garis. Garis yang digunakan yaitu $g_1\ dan \  g_2$ atau $g_1\ dan\  g_3$ atau $g_2\ dan\  g_3$. Dari ketiga pilihan tersebut akan mendapatkan hasil yang sama.

Klik untuk melihat soal mengenai kuasa, garis kuasa dan titik kuasa