TEOREMA L'HOSPITAL

 Teorema L'Hospital merupakan cara alternatif untuk menyelesaikan masalah limit bentuk pecahan. Adapun syaratnya adalah

1. Limit yang kita kerjakan berupa limit pecahan $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}  \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}  \right ]$ 

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{0}{0}$

3. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]$

Teorema L'Hospital 

Misalkan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f^n(x)}{g^n(x)}$

Catatan: $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$, $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$ dan seterusnya

Contoh:

1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=...$

Pembahasan

Jika kita menggunakan metode substitusi maka  $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\frac{2^2+3.2-10}{2^2+4.2-12}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ memenuhi syarat penggunaan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2.2+3}{2.2+4}=\frac{7}{8}$

2. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=...$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode substitusi maka diperoleh $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{3^2-9}{3^2-3-6}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ maka tidak bisa digunakan metode substitusi. Jadi dalam kasus ini kita bisa gunakan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2.3}{2.3-1}=\frac{6}{5}$

KEKONTINUAN SUATU FUNGSI

Kontinu dalam arti sederhana adalah proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Fungsi yang kontinu adalah fungsi yang grafiknya terus berlanjut tanpa adanya putus atau hilang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.
1. Fungsi $g(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

2. Fungsi $f(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

 3. Fungsi $h(x)$ kontinu

Definisi:

Fungsi $f(x)$ dikatakan kontinu pada (x=a) jika $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Dari definisi di atas, secara implisit mengartikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ kontinu mensyaratkan tiga hal berikut.

1. $f(a)$ terdefinisi [ada]

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ ada

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Sedangkan, fungsi $f(x)$ dikatakan diskontinu pada (x=b) jika \lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a).

Perhatikan contoh berikut:

1. Diketahui fungsi (f) sebagai berikut:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1\ ;\ x>1\\ 2\ ;\ x=1\\ 3x^2-1\ ;\ x<1\end{matrix}\right.$

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat (x=1).

Jawab.

👉 $f(1)=2$ [Terdefinisi/ada]

👉 Berdasarkan materi Konsep Limit maka $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}{3x^2-1}={3(1)^2-1}=2$ sedangkan $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}{x+1}=1+1=2$. Karena limit kiri sama dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$

👉 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)=2$

Karena ketiga syarat tersebut terpenuhi, maka fungsi $f(x)$ di atas kontinu saat (x=1).
2. Diketahui fungsi (g) sebagai berikut:
$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat (x=1)

Jawab.

👉$g(1)$ tidak ada, karena jika kita substitusi (x=1) ke fungsi $g(x)$ akan menghasilkan penyebutnya 0. Oleh karena itu $g(1)$ tidak terdefinisi.

Karena syarat pertama sudah tidak terpenuhi, maka kita tidak perlu mengecek syarat kedua dan ketiga karena sudah pasti fungsi $g(x)$ tidak kontinu.

KONSEP LIMIT FUNGSI

Materi Limit merupakan materi yang dipelajari di SMA. Materi ini sangat penting karena konsep diferensial dan integral dibangun berdasarkan konsep limit fungsi. Berikut merupakan teorema dasar mengenai Konsep Limit.

Teorema
$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=L$ dan $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=L$

Berdasarkan Teorema di atas, bahwa limit $f(x)=L$ untuk (x) mendekati (c) terjadi jika limit $f(x)=L$ untuk (x) didekati dari kanan maupun kiri (c). Untuk lebih jelasnya, lihat gambar di bawah ini.

Sedangkan, jika limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka $f(x)$ dikatakan tidak punya nilai limit.

Jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow c^+}f(x)$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)$ tidak ada

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh soal:
$g(x)=\left\{\begin{matrix}-x+1;\ x<1\\ x-1;\ 1<x<2\\ 5-x^2;\ x\geq 2\end{matrix}\right.$
1. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}(x-1)=1-1=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}(-x+1)=-1+1=0$
 Karena $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=0$

2. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow2}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}(x-2)=2-2=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow2^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}(5-x^2)=5-2^2=1$
Karena $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)\neq \lim_{x\rightarrow2^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow2}g(x)$ Tidak Mempunyai Nilai Limit di (x) mendekati (2).


Lihat Juga: Turunan, Soal UN Materi Limit