SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA

Sebelumnya kita bahas tentang rumus penting pada dimensi tiga, sekarang adalah contoh soal dari materi tersebut.

Soal 1. Jarak titik ke titik

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ cm$, titik $P$ di tengah rusuk $AB$. Tentukan jarak titik $P$ ke $G$.

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, titik $P$ dan $G$ terletak pada $\Delta PCG$ dan siku-siku di titik $C$. Jadi dengan menggunakan Phytagoras dapat ditentukan panjang $PG$. Terlebih dahulu kita cari panjang $PC$. $PC=\sqrt{PB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

⧭$PG=\sqrt{PC^2+CG^2}$

        $=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+6^2}$

        $=\sqrt{45+36}$

        $=\sqrt{81}=9\ cm$

Soal 2. Jarak titik ke garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke garis $HB$!

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke garis $HB$ adalah panjang $AA'$. Terlebih dahulu kita mencari panjang garis $AH$ [Diagonal Bidang] dan garis $HB$ [Diagonal Ruang] .  $AH=s\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ dan $HB=s\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Perhatikan $\Delta ABH$! 

⧭$L_{ABH}=L_{ABH}$

⟺$\frac{1}{2}(AB)(AH)=\frac{1}{2}(HB)(AA')$

⟺$(4)(4\sqrt{2})=(4\sqrt{3})(AA')$

⟺$AA'=\frac{4}{3}{\sqrt{6}}\ cm$

Soal 3. Jarak titik ke bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke bidang $HDF$

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $HDBF$ [Karena bidang bisa diperluas]. Untuk mencari jarak tersebut, kita akan membuat bidang yang melalui titik $A$ dan tegak lurus dengan bidang $HDBF$. Bidang yang tegak lurus tersebut adalah bidang $ACGE$. Perpotongan antara bidang $HDBF$ dengan bidang $ACGE$ adalah garis $XY$. Jadi jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ dengan garis $XY$.
⧭ Perhatikan $\Delta AYX$, karena siku-siku di $Y$ maka jarak titik $A$ dengan garis $XY$ adalah panjang garis $AY$ yaitu setengah dari diagonal bidang $AC=\frac{1}{2}.12\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ cm$

Lihat kembali: Rumus penting pada dimensi tiga