APLIKASI DERET ARITMATIKA [NILAI ANUITAS]

Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Kasus: jika kita meminjam uang pada suatu bank dan kita mengembalikan uang tersebut dengan cara mencicil dengan sistem anuitas, kita akan membayar cicilan setiap bulan dengan nomilal yang sama selama waktu yang ditentukan. Besar cicilan perbulan tersebut terdiri dari besar angsuran dan bunga. 

Untuk lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut.

Suatu pinjaman $Rp.10.000.000$ akan dilunasi dengan anuitas bulanan $Rp.500.000$. Jika suku bunga $3%$/bulan, tentukan tabel besar angsuran setiap bulan!

Jawab. 

Tabel angsurannya dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Jadi terlihat bahwa, semakin lama kita membayar cicilan, bunga perbulan $b_n$ yang kita bayarkan akan semakin sedikit sedangkan angsuran $a_n$ yang kita bayarkan semakin besar.

$Anuitas = Angsuran+Bunga$

$A=a_n+b_n$ dengan $n=$ bilangan asli

Jika suatu pinjaman $M$ dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama $n$ tahunan dengan suku bunga $i$ pertahun dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
Besarnya pinjaman = jumlah semua angsuran
$M=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n$
$M=a_1+a_1(1+i)+a_1(1+i)^2+a_1(1+i)^3+...+a_1(1+i)^{n-1}$ [deret geometri dengan suku pertama $=a_1$ dan rasio $=(1+i)$]

$M=\frac{a_1\left ( (1+i)^n-1 \right )}{(1+i)-1}$

$M=\frac{a_1\left ( (1+i)^n-1 \right )}{i}$

$a_1=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$ dengan $A=a_1+b_1=a_1+M.i\Leftrightarrow a_1=A-M.i$ maka:

$A-M.i=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=M.i+\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=\frac{M.i\left ( (1+i)^n-1\right )+M.i}{\left ( (1+i)^n-1\right )}$

$A=\frac{M.i(1+i)^n}{\left ( (1+i)^n-1\right )}\times \frac{\frac{1}{(1+i)^n}}{\frac{1}{(1+i)^n}}$

$A=\frac{M.i}{1-\frac{1}{(1+i)^n}}$

$A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$

Besarnya anuitas dari suatu pinjaman $M$ dengan suku bunga $i$ periode selama $n$ periode adalah:
$A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$

Hubungan antara anuitas $(A)$ dan angsuran pertama $(a_1)$
Dari pembuktian di atas diperoleh $a_1=\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$ dan $A=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}$
$\Leftrightarrow \frac{A}{a_1}=\frac{M.i}{1-(1+i)^{-n}}:\frac{M.i}{\left ( (1+i)^n-1 \right )}$
$\Leftrightarrow \frac{A}{a_1}=(1+i)^n; sehingga\ diperoleh\ A=a_1.(1+i)^n$
Sehingga hubungan antara anuitas $(A)$ dan angsuran pertama $(a_1)$ adalah $A=a_1.(1+i)^n$

Contoh soal:
1. Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar $Rp.5.000.000,00$ selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!
Jawab:
Dari soal tersebut, dapat diketahui bahwa
$M=Rp.5.000.000,00$
$n=2\ tahun=24\ bulan$
$i=2%/bulan=0,02/bulan$
$A=\frac{M\times i}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{5.000.000\times 0,02}{1-(1+0,02)^{-24}}=\frac{100.000}{1-1,02^{-24}}=264.355,49$

Lihat juga: Soal SBMPTN dan Pembahasan Materi Barisan dan Deret