Berapakah sudut sin, cos dan tan sudut $108^{o}$ dan $36^{o}$???

Hal yang lumrah dalam matematika dalam bidang trigonometri adalah sudut-sudut yang istimewa (0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰) dimana kita tahu nilai sinus, kosinus maupun tangennya. Nah bagaimana kalau sudut (36⁰ dan 108⁰)...???

Apakah kita dapat menentukan nilai sinus, kosinus maupun tangen untuk sudut-sudut yang tadi tanpa menggunakan kalkulator..? Tentu bisa! berikut adalah langkah-langkah untuk mencari nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut. Silahkan disimak Sob!

Konsep dasar Trigonometri yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin (-a)=-sin (a)$

2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$

3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$

4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$

5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$

6. Persamaan kuadrat dengan $a$ dan $b$ sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$

7. $sin=\frac{depan}{miring}$

8. $cos=\frac{samping}{miring}$

9. $tan=\frac{depan}{samping}$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin (36^{o}+36^{o})-sin (36^{o}-36^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})-sin(0^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})$..........$1$

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})= sin(108^{o}+36^{o})-sin (108^{o}-36^{o})$

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})-sin(72^{o})$..........$2$

Jumlahkan $1$ dan $2$, maka di dapat:

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})+2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(180^{o}-144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(36^{o})$

$2cos(36^{o})+cos(108^{o})=1$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=\frac{1}{2}$ ..........$a$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left(\frac{36^{o}+108^{o}}{2}\right).cos\left(\frac{36^{o}-108^{o}}{2}\right)$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(-36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2\left(-cos\left (180^{o}- 72^{o} \right ) \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$\frac{1}{2}=-2cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$

$\frac{-1}{4}=cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$ ..........$b$

Dari $a$ dan $b$, dapat di bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $cos\left( 36^{0}\right )=x_1$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=x_2$

Persamaan kuadratnya menjadi

$x^{2}-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$

$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$

$4x^{2}-2x-1=0$ ........ Gunakan rumus ABC

$x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

$x_{12}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4.4.(-1)} }{2.4}$

$x_{12}=\frac{2\pm\sqrt{20} }{8}$

$x_{12}=\frac{2\pm2\sqrt{5} }{8}$

$x_{12}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Karena $cos\left( 36^{0}\right )$ bernilai positif dan $cos\left( 108^{0}\right )$ bernilai negatif, maka:

$cos\left( 36^{0}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Untuk mencari sinus dan tangen dari sudut tersebut, kita cari menggunakan Segitiga Phytagoras.

Untuk sudut $36^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2+2\sqrt{5})^{2}}$

$BC=\sqrt{64-(4+8\sqrt{5}+20)}$

$BC=\sqrt{64-(24+8\sqrt{5})}$

$BC=\sqrt{40-8\sqrt{5}}$

Maka di dapat $sin\left( 36^{0}\right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left(36^{0} \right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{2+2\sqrt{5}}$

Untuk sudut $108^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2-2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4-8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24-8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40+8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{2-2\sqrt{5}}$

Pembahasan Soal UN SMP Tahun 2017 Materi Barisan Aritmatika Bertingkat

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana pembahasan soal tersebut dengan langkah-langkah yang terstruktur dan beberapa triks yang mungkin Sobat bisa gunakan dalam menjawab soal yang sejenis. Langsung cek video di bawah ini Sob.

Mudah-mudahan bisa membantu ya....

Bagi sobat yang belum paham langkah-langkahnya, silankah coment di kolom komentar.
Salam Cerdas

Pembahasan Soal UN SMP Tahun 2018 Materi Barisan Aritmatika

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana pembahasan soal tersebut dengan langkah-langkah yang terstruktur dan beberapa triks yang mungkin Sobat bisa gunakan dalam menjawab soal yang sejenis. Langsung cek video di bawah ini Sob.

Mudah-mudahan bisa membantu ya....
Salam Cerdas

Pembahasan soal UN SMP Tahun 2015 Materi Pangkat dan Akar

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana pembahasan soal tersebut dengan langkah-langkah yang terstruktur dan beberapa triks yang mungkin Sobat bisa gunakan dalam menjawab soal yang sejenis. Langsung cek video di bawah ini Sob.

Mudah-mudahan bisa membantu ya....
Salam Cerdas

Pembahasan Soal UN 2015 Materi Pangkat dan Akar

Pada video pembelajaran di bawh ini disajikan bagaimana pembahasan soal tersebut dengan langkah-langkah yang terstruktur dan beberapa triks yang mungkin Sobat bisa gunakan dalam menjawab soal yang sejenis. Langsung cek video di bawah ini Sob.

Mudah-mudahan bisa membantu ya....
Salam Cerdad

Pembahasan Soal UN 2018 Materi Pangkat dan Akar

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana pembahasan soal tersebut dengan langkah-langkah yang terstruktur. langsung cek video di bawah ini Sob.

Mudah-mudahan bisa membantu ya...
Salam Cerdas

Pembuktian Rumus "ABC" pada Persamaan Kuadrat

Pada video pembelajaran di bawah ini disajikan bagaimana membuktikan rumus abc. Dimana rumus abc ini digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Biasanya kan kita hanya menggunakan rumus, tapi video di bawah ini adalah pembuktiannya.

Silangkan langsung di puter Sob.

Mudah-mudahan membantu ya..
Salam Cerdas.

Pembahasan Soal Perbandingan

PERUBAHAN GRAFIK PERSAMAAN KUADRAT