Berapakah sudut sin, cos dan tan sudut $108^{o}$ dan $36^{o}$???

Hal yang lumrah dalam matematika dalam bidang trigonometri adalah sudut-sudut yang istimewa (0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, dan 90⁰) dimana kita tahu nilai sinus, kosinus maupun tangennya. Nah bagaimana kalau sudut (36⁰ dan 108⁰)...???

Apakah kita dapat menentukan nilai sinus, kosinus maupun tangen untuk sudut-sudut yang tadi tanpa menggunakan kalkulator..? Tentu bisa! berikut adalah langkah-langkah untuk mencari nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut. Silahkan disimak Sob!

Konsep dasar Trigonometri yang digunakan dalam perhitungan:

1. $sin (-a)=-sin (a)$

2. $cos (180^{o}-a)=sin(a)$

3. $2cos(a).sin(b)=sin(a+b)-sin(a-b)$

4. $sin(180^{o}-a)=sin(a)$

5. $cos(a)+cos(b)=2cos\left ( \frac{a+b}{2} \right ).cos\left ( \frac{a-b}{2} \right )$

6. Persamaan kuadrat dengan (a) dan (b) sebagai akar-akarnya adalah $x^{2}-(a+b)x+a.b=0$

7. $sin=\frac{depan}{miring}$

8. $cos=\frac{samping}{miring}$

9. $tan=\frac{depan}{samping}$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin (36^{o}+36^{o})-sin (36^{o}-36^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})-sin(0^{o})$

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})= sin(72^{o})$..........(1)

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})= sin(108^{o}+36^{o})-sin (108^{o}-36^{o})$

$2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})-sin(72^{o})$..........(2)

Jumlahkan (1) dan (2), maka di dapat:

$2cos(36^{o}).sin(36^{o})+2cos(108^{o}).sin(36^{o})=sin(144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(180^{o}-144^{o})$

$2sin(36^{o})(cos(36^{o})+cos(108^{o})=sin(36^{o})$

$2cos(36^{o})+cos(108^{o})=1$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=\frac{1}{2}$ ..........(a)

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left(\frac{36^{o}+108^{o}}{2}\right).cos\left(\frac{36^{o}-108^{o}}{2}\right) $

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(-36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2cos\left ( 72^{o} \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$cos(36^{o})+cos(108^{o})=2\left(-cos\left (180^{o}- 72^{o} \right ) \right ).cos\left(36^{o} \right )$

$\frac{1}{2}=-2cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$

$\frac{-1}{4}=cos\left( 108^{0}\right ).cos\left( 36^{0}\right )$ ..........(b)

Dari (a) dan (b), dapat di bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $cos\left( 36^{0}\right )=x_1$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=x_2$

Persamaan kuadratnya menjadi

$x^{2}-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$

$x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$

$4x^{2}-2x-1=0$ ........ Gunakan rumus ABC

$x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

$x_{12}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4.4.(-1)} }{2.4}$

$x_{12}=\frac{2\pm\sqrt{20} }{8}$

$x_{12}=\frac{2\pm2\sqrt{5} }{8}$

$x_{12}=\frac{1}{4}\pm\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Karena $cos\left( 36^{0}\right )$ bernilai positif dan $cos\left( 108^{0}\right )$ bernilai negatif, maka:

$cos\left( 36^{0}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{5}$ dan $cos\left( 108^{0}\right )=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}$

Untuk mencari sinus dan tangen dari sudut tersebut, kita cari menggunakan Segitiga Phytagoras.

Untuk sudut $36^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2+2\sqrt{5})^{2}}$

$BC=\sqrt{64-(4+8\sqrt{5}+20)}$

$BC=\sqrt{64-(24+8\sqrt{5})}$

$BC=\sqrt{40-8\sqrt{5}}$

Maka di dapat $sin\left( 36^{0}\right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left(36^{0} \right )=\frac{\sqrt{40-8\sqrt{5}}}{2+2\sqrt{5}}$

Untuk sudut $108^{o}$

$BC=\sqrt{8^{2}-(2-2\sqrt{5})^{2}}$
$BC=\sqrt{64-(4-8\sqrt{5}+20)}$
$BC=\sqrt{64-(24-8\sqrt{5})}$
$BC=\sqrt{40+8\sqrt{5}}$
Maka di dapat $sin\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{8}$ dan $tan\left( 108^{0}\right )=\frac{\sqrt{40+8\sqrt{5}}}{2-2\sqrt{5}}$