Berkas Lingkaran

Berkas Lingkaran merupakan lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat dari titik potong dua lingkaran. Kalau kedua lingkaran itu $L_1=0$ dan $L_2=0$, maka berkas lingkaran itu $L_1+\lambda\ L_2=0$ dimana $L_1$ dan $L_2$ disebut dengan lingkaran dasar dan kedua titik potongnya disebut dengan titik-titik dasar.

Pada pembahasan kali ini, terdapat dua kasus dalam berkas lingkaran.
❤Kasus Pertama: Kedua lingkaran saling berpotongan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah dan berpotongan di dua titik yaitu titik $A$ dan $B$.
❤Kasus Kedua: Kedua lingkaran saling bersinggungan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah saling bersinggungan. Titik $A$ merupakan titik singgung kedua lingkaran.

     Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa dan pusatnya berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran dasarnya [sentral].

Berikut merupakan contoh soal dari berkas lingkaran
Soal 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $O$ dan titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-6x-8y-11=0$ dan $x^2+y^2-4x-6y-22=0$.
Pembahasan
      $L_1\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
      $L_2\equiv x^2+y^2-4x-6y-22=0$
Persamaan lingkaran yang ditanyakan akan berbentuk
      $L_1+\lambda L_2=0$
      $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
Karena lingkaran yang ditanyakan melalui $O$, maka substitusi $(0,0)$ ke $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
      $0^2+0^2-6.0-8.0-11+\lambda (0^2+0^2-4.0-6.0-22)=0$
      $-22\lambda=11$
      $\lambda=-\frac{1}{2}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah
$x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$x^2+y^2-6x-8y-11-\frac{1}{2}(x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$2x^2+2y^2-12x-16y-22-x^2-y^2+4x+6y+22=0$
$x^2+y^2-8x-10y=0$
Soal 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran $x^2+y^2-x+7y-3=0$ dan $x^2+y^2-5x-y+1=0$ yang berpusat di garis $x-y=0$
Pembahasan
    $L_1\equiv x^2+y^2-x+7y-3=0$
    $L_2\equiv x^2+y^2-5x-y+1=0$
Berdasarkan sifat istimewa dari berkas lingkaran bahwa pusat dari berkas lingkaran berada pada garis yang menghubungkan kedua pusat dari lingkaran dasar. Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, pusat lingkaran 1[$P_1(\frac{1}{2},-\frac{7}{2})$] dan lingkaran 2 [$P_2(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$]. Maka persamaan garis yang menghubungkan kedua persamaan lingkaran tersebut adalah
    $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{4}=\frac{x-\frac{1}{2}}{2}$
    $2y+7=4x-2$
    $4x-2y=9$
Karena titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. Maka titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada perpotongan garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. $x$ dan $y$ kita cari menggunakan cara substitusi atau eliminasi dari kedua persamaan tersebut, dan di dapat hasilnya $x=\frac{9}{2}$ dan $y=\frac{9}{2}$. Maka titik pusatnya $\left ( \frac{9}{2},\frac{9}{2} \right )$.
Persamaan lingkaran yang di cari akan berbentuk $L_1+\lambda L_2=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $(1+\lambda )x^2+(1+\lambda )y^2-(1+5\lambda)x+(7-\lambda)y-3+\lambda=0$
    $x^2+y^2-\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right )x+\left ( \frac{7-\lambda}{1+\lambda}\right )y+\frac{3+\lambda}{1+\lambda}=0$
Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, maka absis [sumbu-x] dari pusat lingkaran tersebut adalah
    $-\frac{1}{2}\left ( -\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right ) \right )=\frac{9}{2}$
    $\frac{1+5\lambda}{1+\lambda}=9$
    $1+5\lambda=9+9\lambda$
    $\lambda=-2$
Ordinat dari pusat lingkaran juga bisa di gunakan, dan tetap di dapat $\lambda=-2$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2(x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2x^2+-2y^2+10x+2y-2=0$
    $x^2+y^2-9x-9y+5=0$