RUMUS PENTING PADA DIMENSI TIGA

Dimensi tiga merupakan materi yang diajarkan di SMA kelas 3 pada kurikulum 2013. Pada pembahasan kali ini, saya hanya menyinggung sedikit tentang materi ini yaitu pada pembahasan mencari jarak antara dua titik, jarak antara titik dengan garis, jarak antara titik dengan bidang.

1) Jarak antara titik dengan titik

Untuk mencari jarak antara titik dengan titik sering kali digunakan Rumus Phytagoras. Rumus Phytagoras ini dapat digunakan pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga di samping, terlihat bahwa segitiga tersebut siku-siku di titik $B$. Oleh karena itu dapat dibuat persamaan Phytagorasnya adalah $(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2$ atau 

$b^2=c^2+a^2$ atau

$c^2=b^2-a^2$ atau

$a^2=b^2-c^2$

Trik: 

1. Gambarkan titik yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga siku-siku yang melalui titik tersebut.

3. Cari jarak titik ke titik menggunakan Rumus Phytagoras.

2) Jarak antara titik dengan garis

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $p$ ke garis $g$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus terhadap garis $g$. 

Perhatikan gambar di bawah!

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah jarak titik $P$ ke titik $P'$.

⧭Untuk mencari jarak antara titik dengan garis, ada beberapa hal penting yang harus dipahami.

a. Rumus Phytagoras [seperti yang sudah dijelaskan di atas]
b. Rumus Luas Segitiga

Terdapat tiga rumus untuk mencari luas segitiga, tergantung yang mana yang dibutuhkan.

➤ Jika sebuah segitiga diketahui panjang alas dan tingginya, untuk mencari luas segitiga dapat dilihat gambar di bawah.

Luas segitiga adalah $\frac{1}{2}alas\times tinggi$

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB$

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times BD$

[Ingat: Tinggi segitiga merupakan tegak lurus dengan alasnya]

$L_{\Delta ABC}=L_{\Delta ABC}$

$\frac{1}{2}BC\times AB=\frac{1}{2}AC\times BD$

$BC\times AB=AC\times BD$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui dua sisinya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB \times sin\ {\beta }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AC \times sin\ {\gamma }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times AB \times sin\ {\alpha }$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui ketiga sisinya, luas segitiga dapat dicari

$L_{\Delta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $s=\frac{a+b+c}{2}$

c. Rumus trigonometri aturan sin, cos, dan tan

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$sin\ {\alpha }=\frac{depan}{miring}=\frac{AC}{AB}$
$cos\ {\alpha }=\frac{samping}{miring}=\frac{BC}{AB}$
$tan\ {\alpha }=\frac{depan}{samping}=\frac{AC}{BC}$








d. Aturan cosinus
Aturan cosinus digunakan untuk mencari salah satu sudut jika diketahui ketiga sisi-sisinya atau untuk mencari salah satu sisi jika diketahui panjang sisi-sisi lainnya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ (A)$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ (B)$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ (C)$

Trik:

1. Gambarkan titik dan garis yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga yang melalui titik dan garis tersebut [Usahakan buat segitiga yang siku-siku]

3. Cari jarak titik ke garis yaitu panjang garis dari titik tersebut yang tegak lurus dengan garis [seringnya menggunakan luas segitiga]

3. Jarak antara titik dengan bidang

Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $P$ ke bidang $v$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus dengan bidang $v$

Perhatikan gambar di bawah.

$PP'=$ merupakan jarak titik $P$ ke bidang $v$

Trik: Ubahlah jarak titik $P$ ke bidang $v$ menjadi jarak titik $P$ ke garis $g$
1. Lukislah bidang $w$ yang melalui $P$ dan tegak lurus $v$
2. Lukis garis $g$ yang merupakan perpotongan antara bidang $v$ dan $w$.
3. Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah jarak titik $P$ ke garis $g$ [Kemudian selesaikan dengan trik mencari jarak titik ke garis seperti penjelasan sebelumnya].

Lihat: Soal dan pembahasan mengenai jarak titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang