TRANSFORMASI [Putaran/Rotasi]

Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu. Untuk rumus rotasi bisa dilihat di bawah ini.

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$

$R_{[0,\alpha]}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}$

Misalkan titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$

Jika titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

❤ Beberapa bentuk perubahan langsung pada rotasi dengan pusat $(0,0)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),90^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),180^o]}}(-x,-y)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),270^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-90^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-270^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-180^o]}}(-x,-y)$

PENTING

${\alpha}^0$ berlawanan arah jarum jam artinya sudutnya ${\alpha}^0$

${\alpha}^0$ searah jarum jam artinya sudutnya $-{\alpha}^0$

Contoh Soal

1. Titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam. Tentukan bayangan titik $B$ tersebut.

Pembahasan

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (-90^0)  & -sin\ (-90^0)  \\ sin\ (-90^0)& cos\ (-90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-2\\-1-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (90^0)  & sin\ (90^0)  \\ -sin\ (90^0)& cos\ (90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0  & 1  \\ -1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam adalah $B'(2,0)$ 

2. Persamaan bayangan kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$ adalah ...

Pembahasan

Rotasi $[0,180^0]$ maksudnya rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar sejauh $180^0$ berlawanan arah dengan jarum jam. Matriks rotasinya adalah $R_{[0,180^0]}=\begin{pmatrix}cos\ 180^0  & -sin\ 180^0  \\ sin\ 180^0& cos\ 180^0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & 0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}$.

Misalkan titik yang kita ambil di kurva $y=x^2-2x-3$ adalah $(x,y)$, maka titik $(x',y')$ adalah hasil rotasinya. Maka:

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -(0)  \\ 0& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-y \end{pmatrix}$

Jadi $x'=-x \Leftrightarrow x=-x' $ dan  $y'=-y \Leftrightarrow y=-y' $, substitusi ke persamaan kurva

$y=x^2-2x-3$

$\Leftrightarrow -y'=(-x')^2-2(-x')-3$

$\Leftrightarrow -y'=(x')^2+2x'-3$

$\Leftrightarrow y'=-(x')^2-2x'+3$

hilangkan tanda aksennya, maka 

$y'=x^2-2x+3$

Inilah hasil rotasi kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$