PENCERMINAN ATAU REFLEKSI

Halo sahabat belajar, salam cerdas...

Nah kali ini kita akan mempelajari materi kelas IX salah satu transformasi geometri yaitu pencerminan. Berikut ini adalah salah satu ilustrasi pencerminan. 

 Di dalam matematika, suatu titik bisa dicerminkan terhadap sumbu-x, sumbu-y atau suatu garis. Nah berikut ini adalah kumpulan dari rumus-rumus pencerminan.

dan untuk contohnya bisa kalian lihat di bawah ini.

UTS MATEMATIKA KELAS IX KURIKULUM 2013 SEMESTER 1 TAPEL 2020/2021

Berikut merupakan soal UTS Matematika kelas IX kurikulum 2013 semester 1 dengan materi Bilangan Berpangkat, Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. 

SOAL PEMANTAPAN KELAS IX

UTS MATEMATIKA SMP KELAS IX SEMESTER 2

TEOREMA L'HOSPITAL

 Teorema L'Hospital merupakan cara alternatif untuk menyelesaikan masalah limit bentuk pecahan. Adapun syaratnya adalah

1. Limit yang kita kerjakan berupa limit pecahan $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}  \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}  \right ]$ 

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{0}{0}$

3. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]$

Teorema L'Hospital 

Misalkan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f^n(x)}{g^n(x)}$

Catatan: $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$, $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$ dan seterusnya

Contoh:

1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=...$

Pembahasan

Jika kita menggunakan metode substitusi maka  $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\frac{2^2+3.2-10}{2^2+4.2-12}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ memenuhi syarat penggunaan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2.2+3}{2.2+4}=\frac{7}{8}$

2. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=...$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode substitusi maka diperoleh $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{3^2-9}{3^2-3-6}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ maka tidak bisa digunakan metode substitusi. Jadi dalam kasus ini kita bisa gunakan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2.3}{2.3-1}=\frac{6}{5}$

SOAL MATEMATIKA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Rumus Lengkap Turunan Trigonometri

Rumus turunan fungsi trigonometri

$y'$ merupakan turunan pertama dari $y$, maka 

$\bigstar\ y=sin\ x \Rightarrow y'=cos\ x$ 

$\bigstar\ y=cos\ x \Rightarrow y'=-sin\ x$ 

$\bigstar\ y=tan\ x \Rightarrow y'=sec^2\ x$

$\bigstar\ y=cotan\ x \Rightarrow y'=-cosec^2\ x$

$\bigstar\ y=sec\ x \Rightarrow y'=sec\ x.tan\ x$

$\bigstar\ y=cosec\ x \Rightarrow y'=-cosec\ x.cot\ x$

Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri

Misalkan $y=sin\ (ax+b)$, maka tentukan turunannya

Penjelasan: Untuk kasus ini kita akan menggunakan turunan berantai, dimana jika $y=sin\ u$ maka $y'=(cos\ u).(u')$.

Misalkan $u=ax+b \Rightarrow u'=a$, dimana $u'$ merupakan turunan dari $u$. Maka $y=sin\ (ax+b)\Rightarrow y=sin\ u \Rightarrow y'=(cos\ u).(u')=cos\ (ax+b).a=a.cos\ (ax+b)$

Jadi $y=sin\ (ax+b)=a.cos\ (ax+b)$

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut:

$\bigstar\ y=sin\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.cos\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=cos\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.sin\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=tan\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cotan\ (ax+b) \Rightarrow y'=-acosec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=sec\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cosec\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.cosec\ (ax+b).cot\ (ax+b)$

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari $y=2cos\ x$

Pembahasan: Ingat kembali bahwa $y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$

Jadi: $y=2cos\ x \Rightarrow y'=2(-sin\ x)=-2sin\ x$

2. Tentukan turunan dari $y=tan\ (2\theta-3)$

Pembahasan: Misalkan $u=(2\theta-3) \Leftrightarrow u'=2$

Jadi: $y=tan\ u$

$y'=u'.sec^2\ u$

$y'=2.sec^2\ (2\theta-3)$

TRANSFORMASI [Putaran/Rotasi]

Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu. Untuk rumus rotasi bisa dilihat di bawah ini.

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$

$R_{[0,\alpha]}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}$

Misalkan titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$

Jika titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

❤ Beberapa bentuk perubahan langsung pada rotasi dengan pusat $(0,0)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),90^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),180^o]}}(-x,-y)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),270^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-90^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-270^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-180^o]}}(-x,-y)$

PENTING

${\alpha}^0$ berlawanan arah jarum jam artinya sudutnya ${\alpha}^0$

${\alpha}^0$ searah jarum jam artinya sudutnya $-{\alpha}^0$

Contoh Soal

1. Titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam. Tentukan bayangan titik $B$ tersebut.

Pembahasan

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (-90^0)  & -sin\ (-90^0)  \\ sin\ (-90^0)& cos\ (-90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-2\\-1-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (90^0)  & sin\ (90^0)  \\ -sin\ (90^0)& cos\ (90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0  & 1  \\ -1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam adalah $B'(2,0)$ 

2. Persamaan bayangan kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$ adalah ...

Pembahasan

Rotasi $[0,180^0]$ maksudnya rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar sejauh $180^0$ berlawanan arah dengan jarum jam. Matriks rotasinya adalah $R_{[0,180^0]}=\begin{pmatrix}cos\ 180^0  & -sin\ 180^0  \\ sin\ 180^0& cos\ 180^0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & 0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}$.

Misalkan titik yang kita ambil di kurva $y=x^2-2x-3$ adalah $(x,y)$, maka titik $(x',y')$ adalah hasil rotasinya. Maka:

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -(0)  \\ 0& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-y \end{pmatrix}$

Jadi $x'=-x \Leftrightarrow x=-x'$ dan  $y'=-y \Leftrightarrow y=-y'$, substitusi ke persamaan kurva

$y=x^2-2x-3$

$\Leftrightarrow -y'=(-x')^2-2(-x')-3$

$\Leftrightarrow -y'=(x')^2+2x'-3$

$\Leftrightarrow y'=-(x')^2-2x'+3$

hilangkan tanda aksennya, maka 

$y'=x^2-2x+3$

Inilah hasil rotasi kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$