UTS KELAS IX SEMESTER 2 [KTSP] TAHUN AJARAN 2018-2019

UTS KELAS VII

Ulangan Tengah Semester Kelas VII semester 1 materi operasi bilangan bulat, bilangan pecahan, dan aljabar. Berikut soalnya

SOAL DAN PEMBAHASAN PELUANG SMA

1. Dari $9$ orang calon pengurus RT akan dipilih $1$ orang ketua, $1$ orang wakil ketua, dan $1$ orang bendehara. Banyak kemungkinan susunan pengurus RT adalah ...

Pembahasan

Karena di pilih 3 orang yang menduduki jabatan berbeda-beda [memperhatikan urutan], maka $_{3}^{9}\textrm{P}=\frac{9!}{(9-3)!}=\frac{9.8.7.6!}{6!}=9.8.7=504$

2. Suatu reuni dihadiri $30$ orang peserta. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi adalah ...

Pembahasan

Dalam berjabat tangan dilakukan oleh $2$ orang, jadi setiap orang dapat melakukan jabat tangan sekali. Ini sama artinya kita memilih dua orang untuk melakukan jabat tangan dari 30 orang. Karena dalam jabat tangan tidak memperhatikan urutan, kita cuma memilih 2 orang dari 30 orang maka banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah $_{2}^{30}\textrm{C}=\frac{30!}{(30-2)!.2!}=\frac{30.29.28!}{28!.2.1}=15.29=435$.

3. Pada percobaan melempar dua buah dadu bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10 adalah ...

Pembahasan

Dalam percobaan melempar dua buah dadu dapat di cari ruang sampelnya [S] sebagai berikut

$S={(1,1)(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2), ...,(3,1),(3,2),...,(6,6)}\rightarrow n(S)=6^2=36$

Misalkan A adalah himpunan munculnya mata dadu berjumlah 4 dan B adalah himpunan mata dadu berjumlah 10, maka

$A={(1,3),(2,2),(3,1)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

$B={(4,6),(5,5),(6,4)}\rightarrow n(B)=3\rightarrow P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$

Karena yang di tanya peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 10, maka

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

4. Tiga mata uang logam dilempar undi sebanyak 64 kali. Frekuensi harapan muncul dua gambar dan satu angka adalah ...

Pembahasan
Dalam percobaan melempar 3 buah uang logam dapat dicari ruang sampelnya [S] sebagai berikut
$S={(AAA),(AAG),(AGA),(GAA),....(GGG)}\rightarrow n(S)=2^3=8$
Misalkan A adalah himpunan muncul dua gambar dan satu angka, maka
$A={(GGA),(GAG),(AGG)}\rightarrow n(A)=3\rightarrow p(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}$
Jadi Frekwensi harapan dengan $N=64$ adalah
$F_H(A)=P(A).N=\frac{3}{8}.64=3.8=24$

5. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5 baju putih dan 3 baju biru. Jika di ambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah ...

Pembahasan
Pengambilan pertama satu baju putih, maka peluangnya adalah
$P(P)=\frac{n(P)}{n(S)}=\frac{5}{8}$
Pengambilan kedua satu baju biru, karena di soal dinyatakan tanpa pengambilan maka $n(S)=7$ [karena sudah di ambil 1 baju putih], maka peluang pada pengambilan kedua adalah ...
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{7}$
Jadi peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah
$P(P\cup B)=\frac{5}{8}.\frac{3}{7}$

Lihat Juga: Peluang Kejadian Saling Bebas Stokastik

LKS TRAPESIUM DAN JAJAR GENJANG

Berikut merupakan Lembar Kerja Siswa [LKS] untuk materi keliling dan luas bangun datar yaitu trapesium dan jajar genjang. Lihat kembali:

• Penggalan buku untuk materi Segitiga dan Segi empat
• Lembar Kerja Siswa Materi Segiempat

PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK

❤❤ PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK❤❤

Kejadian saling bebas stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. $K_L$ adalah kejadian munculnya sisi gambar pada uang logam dan $K_D$ adalah kejadian munculnya mata dadu genap. Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga $K_L$ dan $K_D$ disebut kejadian saling bebas stokastik. 

Peluang terjadinya $K_L$ dan $K_D$ ditulis $(K_L\cap K_D)$ untuk $K_L$ dan $K_D$ saling bebas stokastik adalah $(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Kejadian $A_1,A_2,...,A_k$ adalah kejadian-kejadian saling bebas stokastik secara lengkap jika
$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

Contoh soal.
Pada percobaan  melempar 2 dadu, $A$ adalah kejadian dadu pertama muncul mata genap, $B$ adalah kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3. Berapa peluang kejadian $A$ dan $B$.
Jawab
$A=$ Kejadian dadu pertama muncul mata genap
👉$A=\left \{ 2,4,6 \right \}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$B=$ Kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3
👉$B=\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow n(B)=2\rightarrow p(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
👉 Maka, $P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
 
⃟ Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Peluang pengambilan dengan pengembalian dapat di pandang sebagai kejadian yang saling bebas.
$(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Contoh soal.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Berapa peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih.
Jawab
Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya bola merah pada pelemparan pertama, maka
$n(A)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 5 dan $n(S)$ menyatakan banyaknya semua bola yaitu 9.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}$
Karena bola yang sudah di ambil pada pengambilan pertama dikembalikan lagi, maka $n(S)$ atau  banyaknya semua bola tetap yaitu 9. Misalkan $B$ adalah kejadian munculnya bola putih dan $n(B)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 4, maka
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9}$
Jadi peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih adalah $(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{5}{9}.\frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

❤❤ PELUANG BERSYARAT❤❤

Pada suatu percobaan, jika kejadian $A$ dan $B$ dapat terjadi bersama-sama tetapi terjadi atau tidak terjadinya $A$ akan mempengaruhi terjadia atau tidak terjadinya kejadian $B$, maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat dan berlaku:

Peluang munculnya kejadian $A$ dengan syarat kejadian $B$ telah terjadi adalah

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dengan $P(B)\neq 0$

Contoh soal.

1. Pada pelemparan 2 buah dadu, berapakah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terlebih dahulu.
Jawab
Dari soal diketahui dua dadu, maka $n(S)=6^2=36$
$A=$ Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama
$A=\left \{ (1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1) \right \}$
$B=$ Kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 [sebagai syarat]
$B=\left \{ (1,1);(1,2);(2,1) \right \}\Rightarrow n(B)=3$
👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$
$(A\cap B)=\left \{(1,1);(2,1) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=2$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{36}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{3}{36}}=\frac{2}{3}$

2. Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya dua sisi muka dengan syarat sisi muka muncul pertama.

Jawab

Dari soal diketahui dua koin, maka $n(S)=2^2=4$

$A=$ Kejadian dua sisi muka [gambar]

$A=\left \{ (GG) \right \}$

$B=$ Kejadian sisi muka muncul pertama [sebagai syarat]

$B=\left \{ (GG),(GA) \right \}\Rightarrow n(B)=2$

👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$(A\cap B)=\left \{(GG) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=1$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{4}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

⃟ Peluang Pengambilan tanpa Pengembalian

Peluang pengambilan tanpa pengembalian dapat dipandang sebagai kejadian bersyarat.

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A/B).P(B)$

Contoh soal.
Pada pengambilan dua buah kartu bridge satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua.
Jawab

Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya kartu As pada pengambilan pertama. $n(A)$ menyatakan banyaknya kartu As pada karu bridge yaitu 4.  $n(S)$ menyatakan banyaknya semua kartu bridge dalam satu set yaitu 52. Maka,

    👉 $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$
Satu kartu As pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi sehingga jumlah tumpukan kartu menjadi 51 $[n(S)'=51]$. Jika $B$ adalah kejadian munculnya kartu king pada pengambilan kedua dan banyaknya kartu king pada satu set kartu adalah 4 $[n(B)=4]$, maka
    👉 $P(B/A)=\frac{n(B/A)}{n(S)'}=\frac{4}{51}$
Jadi peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua adalah $P(A\cap B)=P(B/A).P(A)=\frac{4}{51}.\frac{4}{52}$

Lihat juga: Soal dan Pembahasan Peluang, Soal-Soal Peluang, Distribusi Normal, Distribusi Binomial

GARIS POLAR

Jika terdapat titik $P(x_0,y_0)$ berada di luar lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$, maka dari titik $P$ dapat di buat dua garis singgung yang menyinggung lingkaran $L$ di titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Garis singgung tersebut berturut-turut $g_1$ dan $g_2$, dimana:

   $g_1:x_1x+y_1y=r^2$

   $g_2:x_2x+y_2y=r^2$

Karena titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ berada pada lingkaran $L$.

Lihat seperti gambar di bawah.

Garis singgung $g_1$ dan $g_2$ melalui titik $P(x_0,y_0)$, maka berlaku:

$x_1x_0+y_1y_0=r^2$ dan $x_2x_0+y_2y_0=r^2$

dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ memenuhi persamaan $x_0x+y_0y=r^2$.

Jadi
❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah $p:x_0x+y_0y=r^2$

Maka berlaku pula untuk bentuk lingkaran yang lain.

❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

❤Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_0x+y_0y+\frac{1}{2}A(x_0+x)+\frac{1}{2}B(y_0+y)+C=0$

Dapat disimpulkan beberapa hal mengenai garis polar yaitu sebagai berikut.

1. Jika suatu titik berada di luar lingkaran misalkan titik $A$, maka garis kutub/polarnya memotong lingkaran di dua titik. Lihat gambar di bawah

2. Jika suatu titik berada pada lingkaran misalkan titik $B$, maka garis kutub/polarnya adalah garis singgung lingkaran di titik $B$. Lihat gambar di bawah

3. Jika suatu titik berada di dalam lingkaran misalkan titik $C$, maka garis kutub/polarnya tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Lihat gambar di bawah

Dalam soal garis polar ini biasanya digunakan untuk mencari garis singgung suatu lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Contohnya bisa di lihat di bawah ini.
Diketahui lingkaran $L:x^2+y^2=16$ dan titik $P(-3,4)$ di luar lingkaran. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran $L$ yang melalui titik $P$.
Jawab
👉 Persamaan polar/kutub dari titik $P(-3,4)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=16$ adalah $-3x+4y=16$
Persamaan polar $-3x+4y=16$ memotong lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka kita perlu mencari titik potongnya.
👉 $-3x+4y=16\Leftrightarrow y=\frac{16+3x}{4}\Leftrightarrow y=4+\frac{3}{4}x$, kemudian substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=16$

$x^2+\left ( 4+\frac{3}{4}x \right )^2=16$

$x^2+16+6x+\frac{9}{16}x^2=16$

$x^2+\frac{9}{16}x^2+6x=0$

$16x^2+9x^2+96x=0$

$25x^2+96x=0$

$x(25x+96)=0$

$x=0\ atau\ x=-\frac{96}{25}$

Untuk $x=0\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}(0)=4$. Jadi titik potongnya $(0,4)$

Untuk $x=-\frac{96}{25}\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}\left ( -\frac{96}{25} \right )=4-\frac{72}{25}=\frac{28}{25}$. Jadi titik potongnya $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$

Titik $(0,4)$ dan $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ merupakan titik singgung yang berada pada lingkaran. Jadi bisa kita buat persamaan garis singgung di titik tersebut.

👉 Untuk titik singgung $(0,4)$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya  $0x+4y=16\Leftrightarrow 4y=16\Leftrightarrow y=4$

👉 Untuk titik singgung $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya $-\frac{96}{25}x+\frac{28}{25}y=16\Leftrightarrow -96x+28y=400\Leftrightarrow -24x+7y=100$