PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK

❤❤ PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK❤❤

Kejadian saling bebas stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. $K_L$ adalah kejadian munculnya sisi gambar pada uang logam dan $K_D$ adalah kejadian munculnya mata dadu genap. Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga $K_L$ dan $K_D$ disebut kejadian saling bebas stokastik. 

Peluang terjadinya $K_L$ dan $K_D$ ditulis $(K_L\cap K_D)$ untuk $K_L$ dan $K_D$ saling bebas stokastik adalah $(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Kejadian $A_1,A_2,...,A_k$ adalah kejadian-kejadian saling bebas stokastik secara lengkap jika
$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

Contoh soal.
Pada percobaan  melempar 2 dadu, $A$ adalah kejadian dadu pertama muncul mata genap, $B$ adalah kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3. Berapa peluang kejadian $A$ dan $B$.
Jawab
$A=$ Kejadian dadu pertama muncul mata genap
👉$A=\left \{ 2,4,6 \right \}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$B=$ Kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3
👉$B=\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow n(B)=2\rightarrow p(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
👉 Maka, $P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
 
⃟ Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Peluang pengambilan dengan pengembalian dapat di pandang sebagai kejadian yang saling bebas.
$(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Contoh soal.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Berapa peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih.
Jawab
Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya bola merah pada pelemparan pertama, maka
$n(A)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 5 dan $n(S)$ menyatakan banyaknya semua bola yaitu 9.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}$
Karena bola yang sudah di ambil pada pengambilan pertama dikembalikan lagi, maka $n(S)$ atau  banyaknya semua bola tetap yaitu 9. Misalkan $B$ adalah kejadian munculnya bola putih dan $n(B)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 4, maka
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9}$
Jadi peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih adalah $(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{5}{9}.\frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

❤❤ PELUANG BERSYARAT❤❤

Pada suatu percobaan, jika kejadian $A$ dan $B$ dapat terjadi bersama-sama tetapi terjadi atau tidak terjadinya $A$ akan mempengaruhi terjadia atau tidak terjadinya kejadian $B$, maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat dan berlaku:

Peluang munculnya kejadian $A$ dengan syarat kejadian $B$ telah terjadi adalah

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dengan $P(B)\neq 0$

Contoh soal.

1. Pada pelemparan 2 buah dadu, berapakah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terlebih dahulu.
Jawab
Dari soal diketahui dua dadu, maka $n(S)=6^2=36$
$A=$ Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama
$A=\left \{ (1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1) \right \}$
$B=$ Kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 [sebagai syarat]
$B=\left \{ (1,1);(1,2);(2,1) \right \}\Rightarrow n(B)=3$
👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$
$(A\cap B)=\left \{(1,1);(2,1) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=2$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{36}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{3}{36}}=\frac{2}{3}$

2. Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya dua sisi muka dengan syarat sisi muka muncul pertama.

Jawab

Dari soal diketahui dua koin, maka $n(S)=2^2=4$

$A=$ Kejadian dua sisi muka [gambar]

$A=\left \{ (GG) \right \}$

$B=$ Kejadian sisi muka muncul pertama [sebagai syarat]

$B=\left \{ (GG),(GA) \right \}\Rightarrow n(B)=2$

👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$(A\cap B)=\left \{(GG) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=1$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{4}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

⃟ Peluang Pengambilan tanpa Pengembalian

Peluang pengambilan tanpa pengembalian dapat dipandang sebagai kejadian bersyarat.

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A/B).P(B)$

Contoh soal.
Pada pengambilan dua buah kartu bridge satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua.
Jawab

Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya kartu As pada pengambilan pertama. $n(A)$ menyatakan banyaknya kartu As pada karu bridge yaitu 4.  $n(S)$ menyatakan banyaknya semua kartu bridge dalam satu set yaitu 52. Maka,

    👉 $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$
Satu kartu As pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi sehingga jumlah tumpukan kartu menjadi 51 $[n(S)'=51]$. Jika $B$ adalah kejadian munculnya kartu king pada pengambilan kedua dan banyaknya kartu king pada satu set kartu adalah 4 $[n(B)=4]$, maka
    👉 $P(B/A)=\frac{n(B/A)}{n(S)'}=\frac{4}{51}$
Jadi peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua adalah $P(A\cap B)=P(B/A).P(A)=\frac{4}{51}.\frac{4}{52}$

Lihat juga: Soal dan Pembahasan Peluang, Soal-Soal Peluang, Distribusi Normal, Distribusi Binomial