PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK

❤❤ PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS STOKASTIK❤❤

Kejadian saling bebas stokastik jika munculnya kejadian pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali. $K_L$ adalah kejadian munculnya sisi gambar pada uang logam dan $K_D$ adalah kejadian munculnya mata dadu genap. Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga $K_L$ dan $K_D$ disebut kejadian saling bebas stokastik. 

Peluang terjadinya $K_L$ dan $K_D$ ditulis $(K_L\cap K_D)$ untuk $K_L$ dan $K_D$ saling bebas stokastik adalah $(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Kejadian $A_1,A_2,...,A_k$ adalah kejadian-kejadian saling bebas stokastik secara lengkap jika
$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)$

Contoh soal.
Pada percobaan  melempar 2 dadu, $A$ adalah kejadian dadu pertama muncul mata genap, $B$ adalah kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3. Berapa peluang kejadian $A$ dan $B$.
Jawab
(A=) Kejadian dadu pertama muncul mata genap
👉$A=\left \{ 2,4,6 \right \}\rightarrow n(A)=3\rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
(B=) Kejadian dadu kedua muncul mata dadu kurang dari 3
👉$B=\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow n(B)=2\rightarrow p(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
👉 Maka, $P(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
 
⃟ Peluang Pengambilan dengan Pengembalian
Peluang pengambilan dengan pengembalian dapat di pandang sebagai kejadian yang saling bebas.
$(K_L\cap K_D)=P(K_L).P(K_D)=\frac{n(K_L)}{n(S)}.\frac{n(K_D)}{n(S)}$
Contoh soal.
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Berapa peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih.
Jawab
Misalkan (A) adalah kejadian munculnya bola merah pada pelemparan pertama, maka
$n(A)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 5 dan $n(S)$ menyatakan banyaknya semua bola yaitu 9.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}$
Karena bola yang sudah di ambil pada pengambilan pertama dikembalikan lagi, maka $n(S)$ atau  banyaknya semua bola tetap yaitu 9. Misalkan (B) adalah kejadian munculnya bola putih dan $n(B)$ menyatakan banyaknya bola merah yaitu 4, maka
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9}$
Jadi peluang bola yang terambil berturut-turut berwarna merah dan putih adalah $(A\cap B)=P(A).P(B)=\frac{5}{9}.\frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

❤❤ PELUANG BERSYARAT❤❤

Pada suatu percobaan, jika kejadian (A) dan (B) dapat terjadi bersama-sama tetapi terjadi atau tidak terjadinya (A) akan mempengaruhi terjadia atau tidak terjadinya kejadian (B), maka kejadian tersebut disebut kejadian bersyarat dan berlaku:

Peluang munculnya kejadian (A) dengan syarat kejadian (B) telah terjadi adalah

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ dengan $P(B)\neq 0$

Contoh soal.

1. Pada pelemparan 2 buah dadu, berapakah peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terlebih dahulu.
Jawab
Dari soal diketahui dua dadu, maka $n(S)=6^2=36$
(A=) Kejadian munculnya angka 1 pada dadu pertama
$A=\left \{ (1,1);(2,1);(3,1);(4,1);(5,1);(6,1) \right \}$
(B=) Kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 [sebagai syarat]
$B=\left \{ (1,1);(1,2);(2,1) \right \}\Rightarrow n(B)=3$
👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{3}{36}$
$(A\cap B)=\left \{(1,1);(2,1) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=2$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{2}{36}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{3}{36}}=\frac{2}{3}$

2. Sebuah koin seimbang dilempar dua kali. Berapa peluang munculnya dua sisi muka dengan syarat sisi muka muncul pertama.

Jawab

Dari soal diketahui dua koin, maka $n(S)=2^2=4$

(A=) Kejadian dua sisi muka [gambar]

$A=\left \{ (GG) \right \}$

(B=) Kejadian sisi muka muncul pertama [sebagai syarat]

$B=\left \{ (GG),(GA) \right \}\Rightarrow n(B)=2$

👉 $P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$(A\cap B)=\left \{(GG) \right \}\Rightarrow n(A\cap B)=1$
👉 $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(S)}=\frac{1}{4}$
Jadi $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

⃟ Peluang Pengambilan tanpa Pengembalian

Peluang pengambilan tanpa pengembalian dapat dipandang sebagai kejadian bersyarat.

$P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A/B).P(B)$

Contoh soal.
Pada pengambilan dua buah kartu bridge satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua.
Jawab

Misalkan (A) adalah kejadian munculnya kartu As pada pengambilan pertama. $n(A)$ menyatakan banyaknya kartu As pada karu bridge yaitu 4.  $n(S)$ menyatakan banyaknya semua kartu bridge dalam satu set yaitu 52. Maka,

    👉 $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{52}$
Satu kartu As pada pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi sehingga jumlah tumpukan kartu menjadi 51 $[n(S)'=51]$. Jika $B$ adalah kejadian munculnya kartu king pada pengambilan kedua dan banyaknya kartu king pada satu set kartu adalah 4 $[n(B)=4]$, maka
    👉 $P(B/A)=\frac{n(B/A)}{n(S)'}=\frac{4}{51}$
Jadi peluang terambil kartu AS pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua adalah $P(A\cap B)=P(B/A).P(A)=\frac{4}{51}.\frac{4}{52}$

Lihat juga: Soal dan Pembahasan Peluang, Soal-Soal Peluang, Distribusi Normal, Distribusi Binomial