GARIS POLAR

Jika terdapat titik $P(x_0,y_0)$ berada di luar lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$, maka dari titik (P) dapat di buat dua garis singgung yang menyinggung lingkaran (L) di titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Garis singgung tersebut berturut-turut (g_1) dan (g_2), dimana:

   $g_1:x_1x+y_1y=r^2$

   $g_2:x_2x+y_2y=r^2$

Karena titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ berada pada lingkaran (L).

Lihat seperti gambar di bawah.

Garis singgung (g_1) dan (g_2) melalui titik $P(x_0,y_0)$, maka berlaku:

$x_1x_0+y_1y_0=r^2$ dan $x_2x_0+y_2y_0=r^2$

dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ memenuhi persamaan $x_0x+y_0y=r^2$.

Jadi
❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah $p:x_0x+y_0y=r^2$

Maka berlaku pula untuk bentuk lingkaran yang lain.

❤ Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

❤Persamaan garis kutub/polar dari titik $P(x_0,y_0)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $x_0x+y_0y+\frac{1}{2}A(x_0+x)+\frac{1}{2}B(y_0+y)+C=0$

Dapat disimpulkan beberapa hal mengenai garis polar yaitu sebagai berikut.

1. Jika suatu titik berada di luar lingkaran misalkan titik (A), maka garis kutub/polarnya memotong lingkaran di dua titik. Lihat gambar di bawah

2. Jika suatu titik berada pada lingkaran misalkan titik (B), maka garis kutub/polarnya adalah garis singgung lingkaran di titik (B). Lihat gambar di bawah

3. Jika suatu titik berada di dalam lingkaran misalkan titik (C), maka garis kutub/polarnya tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. Lihat gambar di bawah

Dalam soal garis polar ini biasanya digunakan untuk mencari garis singgung suatu lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Contohnya bisa di lihat di bawah ini.
Diketahui lingkaran $L:x^2+y^2=16$ dan titik $P(-3,4)$ di luar lingkaran. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran (L) yang melalui titik (P).
Jawab
👉 Persamaan polar/kutub dari titik $P(-3,4)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=16$ adalah $-3x+4y=16$
Persamaan polar $-3x+4y=16$ memotong lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka kita perlu mencari titik potongnya.
👉 $-3x+4y=16\Leftrightarrow y=\frac{16+3x}{4}\Leftrightarrow y=4+\frac{3}{4}x$, kemudian substitusi ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=16$

$x^2+\left ( 4+\frac{3}{4}x \right )^2=16$

$x^2+16+6x+\frac{9}{16}x^2=16$

$x^2+\frac{9}{16}x^2+6x=0$

$16x^2+9x^2+96x=0$

$25x^2+96x=0$

$x(25x+96)=0$

$x=0\ atau\ x=-\frac{96}{25}$

Untuk $x=0\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}(0)=4$. Jadi titik potongnya $(0,4)$

Untuk $x=-\frac{96}{25}\Rightarrow y=4+\frac{3}{4}\left ( -\frac{96}{25} \right )=4-\frac{72}{25}=\frac{28}{25}$. Jadi titik potongnya $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$

Titik $(0,4)$ dan $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ merupakan titik singgung yang berada pada lingkaran. Jadi bisa kita buat persamaan garis singgung di titik tersebut.

👉 Untuk titik singgung $(0,4)$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya  $0x+4y=16\Leftrightarrow 4y=16\Leftrightarrow y=4$

👉 Untuk titik singgung $\left ( -\frac{96}{25}, \frac{28}{25}\right )$ dan lingkaran $L:x^2+y^2=16$, maka persamaan garis singgungnya $-\frac{96}{25}x+\frac{28}{25}y=16\Leftrightarrow -96x+28y=400\Leftrightarrow -24x+7y=100$