Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

❤ Persamaan trigonometri sederhana bentuk $f(x)=c$, tentukan dulu sudut yang menghasilkan perbandingan trigonometri pada ruas kanan dengan cara:

〉Jika $sin\ x=sin\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=(180^o-\alpha )+K.360^o$
〉Jika $cos\ x=cos\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.360^o$
     b. $x=-\alpha +k.360^o$
〉Jika $tan\ x=tan\ \alpha $, maka
     a. $x=\alpha +k.180^o$
dimana $k=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan $2sin\ x=1$ untuk $0^o\leq x\leq 360^o$.
Pembahasan

$2sin\ x=1$

$sin\ x=\frac{1}{2}$

$sin\ x=sin\ 30^o\Leftrightarrow \alpha =30^o$

a. $x=\alpha +k.360^o$
    $x=30^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=30^o+(-1).360^o=-330^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=30^o+0.360^o=30^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=30^o+1.360^o=390^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-\alpha )+k.360^o$
    $x=(180^o-30^o )+k.360^o$
    $x=150^o+k.360^o$
》$k=-1\rightarrow x=150^o+(-1).360^o=-210^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=150^o+(0).360^o=150^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=150^o+1.360^o=510^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 30^o,150^o\right \}$

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan $2cos\ (2x-60^o)-1=0$ untuk $0^o\leq x\leq 180^o$ adalah ...
Pembahasan

$2cos\ (2x-60^o)-1=0$

$2cos\ (2x-60^o)=1$

$cos\ (2x-60^o)=\frac{1}{2}$

$cos\ (2x-60^o)=cos\ 60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o$

a. $2x-60^o=\alpha +k.360^o$

    $2x-60^o=60^o +k.360^o$

    $2x=120^o +k.360^o$
    $x=60^o +k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=60^o +(-1).180^o=-120^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=60^o +0.180^o=60^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=60^o +1.180^o=240^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
b. $2x-60^o=-\alpha +k.360^o$
    $2x-60^o=-60^o +k.360^o$
    $2x=k.360^o$
    $x=k.180^o$
》$k=-1\rightarrow x=(-1).180^o=-180^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]
》$k=0\rightarrow x=0.180^o=0^o$ [memenuhi]
》$k=1\rightarrow x=1.180^o=180^o$ [memenuhi]
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,60^o,180^o \right \}$

❤ Persamaan trigonometri dalam bentuk $Acos\ x+Bsin\ x=c$.

$Acos\ x+Bsin\ x=c\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=c$

Dimana $K=\sqrt{A^2+B^2}$ dan $\beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$
Pembuktian
$Acos\ x+Bsin\ x=Kcos(x-\beta )$
                         $=K(cos\ x.cos\ \beta+sin\ x.sin\ \beta )$
                         $=K.cos\ x.cos\ \beta+K.sin\ x.sin\ \beta$
                         $=K.cos\ \beta.cos\ x+K.sin\ \beta.sin\ x$
Maka
$K.cos\ \beta=A\Leftrightarrow K^2.cos^2\ \beta=A^2$ .... [1]
$K.sin\ \beta=B\Leftrightarrow K^2.sin^2\ \beta=B^2$ .... [2]
Jumlahkan persamaan [1] dan [2], maka

$K^2.cos^2\ \beta+K^2.sin^2\ \beta=A^2+B^2$

$K^2(cos^2\ \beta+sin^2\ \beta)=A^2+B^2$

$K^2=A^2+B^2 \Leftrightarrow K=\sqrt{A^2+B^2}$

Jika $K.sin\ \beta=B$ dibagi dengan $K.cos\ \beta=A$, maka

$\frac{K.sin\ \beta }{K.cos\ \beta}=\frac{B}{A}$

$tan\ \beta =\frac{B}{A}\Leftrightarrow \beta =arc\ tan\ \frac{B}{A}$

Contoh Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos\ x-sin\ x=1$, jika $0^o\leq x\leq 360^o$
Pembahasan

$cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow Kcos(x-\beta )=1$

$K=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\beta=arc\ tan\ \frac{-1}{1}$

$\beta=arc\ tan\ (-1)\Leftrightarrow \beta =-45^o$

Maka $cos\ x-sin\ x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}cos(x+45^o )=1$

$\sqrt{2}cos(x+45^o )=1$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$cos(x+45^o )=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos(x+45^o )=cos\ 45^o\Leftrightarrow \alpha =45^o$

a. $x+45^o=\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=45^o +k.360^o$

    $x=k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=(-1).360^o=-360^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=0.360^o=0^o$ [memenuhi]

》$k=1\rightarrow x=1.360^o=360^o$ [memenuhi] 

b. $x+45^o=-\alpha +k.360^o$

    $x+45^o=-45^o +k.360^o$

    $x=-90^o +k.360^o$

》$k=-1\rightarrow x=-90^o +(-1).360^o=-450^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=0\rightarrow x=-90^o +0.360^o=-90^o$ [tidak memenuhi karena tidak berada pada selang]

》$k=1\rightarrow x=-90^o +1.360^o=270^o$ [memenuhi]

Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 0^o,270^o,360^o \right \}$