PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Logaritma dengan bilangan pokok atau basis $a$ dapat dinyatakan sebagai $^alog\ y=x\Leftrightarrow y=a^x$; dimana $a>0$ dan $a\neq 1,\ y>0$.

Persamaan Logaritma
1. $^alog\ x=^alog\ y\Leftrightarrow x=y$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,x>0,\ dan\ y>0$
2. $^alog\ f(x)=c\Rightarrow  f(x)=a^c$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
3. $^alog\ f(x)=^alog\ g(x)\Rightarrow; f(x)=g(x)$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,f(x)>0,\ dan\ g(x)>0$
4. $^alog\ f(x)=^blog\ f(x)\Rightarrow f(x)=1$
Dengan syarat $a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1,a\neq b,\ dan\ f(x)>0$
5. $^{g(x)}log\ f(x)=c\Rightarrow f(x)=g(x)^c$
Dengan syarat $g(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ f(x)>0$
6. $^{f(x)}log\ g(x)=^{f(x)}log\ h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)$
Dengan syarat $f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)>0,\ dan\ h(x)>0$
7. $^{f(x)}log\ h(x)=^{g(x)}log\ h(x)\Rightarrow 1. f(x)=g(x);\ dan\ 2. h(x)=1$
Dengan syarat $h(x)>0,f(x)\neq 1,f(x)>0,g(x)\neq 1,\ dan\ g(x)>0$
6. $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0$ dengan memisalkan $^plog\ x=y$ maka
    $a(^plog\ x)^2+b(^plog\ x)+c=0\Leftrightarrow ay^2+by+c=0$ [selesaikan dengan persamaan kuadrat]
    ❤ Trik: $x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$ ❤

Contoh Soal

1. Selesaikan $^4log\ (3x+1)=2$

Pembahasan
$^4log\ (3x+1)=2\Rightarrow (3x+1)=4^2$

$(3x+1)=16$

$3x=15\Leftrightarrow x=5$

2. Akar-akar persamaan $10.^9log^2x-5.^9logx-1=0$, adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1.x_2$ adalah ...
Pembahasan

$x_1.x_2=p^{\frac{-b}{a}}$

$x_1.x_2=9^{\frac{-(-5)}{10}}=9^{\frac{1}{2}}=3$

3. Himpunan penyelesaian dari $^2log^2x+2.^2logx-3=0$ adalah ...

Pembahasan

Misalkan $^2logx=y$, maka $^2log^2x+2.^2logx-3=0\Leftrightarrow y^2+2y-3=0$

$(y-1)(y+3)=0$

$y=1\ atau\ y=-3$

೦ $y=1\Leftrightarrow\ ^2logx=1\Leftrightarrow x=2^1=2$

೦ $y=-3\Leftrightarrow\ ^2logx=-3\Leftrightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{8}$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 2, \frac{1}{8}\right \}$

4. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$

Pembahasan

$^alog\ (x+13)=^alog\ 6\Leftrightarrow x+13=6$

$\Leftrightarrow x=6-13=-7$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $^alog\ (x+13)=^alog\ 6$ adalah -7

5. Tentukan nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar 

Pembahasan
Solusi pertama:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x+1=x^2-5$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-5-1$
$\Leftrightarrow 0=x^2-x-6$
$\Leftrightarrow 0=(x+2)(x-3)$
$0=x+2\ atau\ 0=x-3$
$x=-2\ atau\ x=3$
Periksa syarat untuk $x=-2$ dan $x=3$
untuk $x=-2$:
$x^2+1=(-2)^2+1=4+1=5>0$ memenuhi
$x+1=(-2)+1=-1<0$ tidak memenuhi
$x^2-5=(-2)^2-5=4-5=-1<0$ tidak memenuhi
untuk $x=3$:
$x^2+1=(3)^2+1=9+1=10>0$ memenuhi
$x+1=(3)+1=4>0$ memenuhi
$x^2-5=(3)^2-5=9-5=4>0$ memenuhi
Ini berarti, nilai $x=3$ merupakan solusi

solusi kedua:
$^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)\Leftrightarrow x^2+1=1$
$\Leftrightarrow x^2=0$
$\Leftrightarrow x=0$
Periksa syarat untuk $x=0$
$x^2+1=(0)^2+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x+1=0+1=1>0$ memenuhi
$x^2-5=0^2-5=-5<0$ tidak memenuhi
Ini berarti, nilai $x=0$ bukan solusi
Jadi, nilai $x$ agar persamaan $^{x+1}log\ (x^2+1)=^{x^2-5}log\ (x^2+1)$ bernilai benar adalah 3

Pertidaksamaan Logaritma
a. untuk $a>1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
b. untuk $0<a<1$
1. $^alog\ f(x)\geq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\leq g(x)$
2. $^alog\ f(x)\leq\ ^alog\ g(x)\Rightarrow f(x)\geq g(x)$
dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$

Contoh Soal

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^2log^2x+2.^2log2x>2$ adalah ...

Pembahasan

$^2log^2x+2.^2log2x>2$

$^2log^2x+2(^2log2+^2logx)>2$

$^2log^2x+2(1+^2logx)>2$

$^2log^2x+2+2^2logx>2$

$^2log^2x+2^2logx>0$

$^2logx=y$

$y^2+2y>0$

$y(y+2)>0$

$y=0\ atau\ y=-2$

Maka $y<-2$ atau $y>0$

օ $y=0\Leftrightarrow ^2logx=0\Leftrightarrow x=2^0=1$
օ $y=-2\Leftrightarrow ^2logx=-2\Leftrightarrow x=2^{(-2)}=\frac{1}{4}$
Maka $x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$
Syarat:
1. $x>0$,
2. $2x>0\Leftrightarrow x>0$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah $0<x<\frac{1}{4}\ atau\ x>1$

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma $^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq\  ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$ adalah ...

Pembahasan

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)-^{\frac{1}{2}}log(x-5)\geq ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(14-x)(x-5)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$^{\frac{1}{2}}log(-x^2+19x-70)\geq\ ^{\frac{1}{2}}log(x+2)$

$-x^2+19x-70\leq x+2$

$x^2-19x+70\geq  -x-2$

$x^2-18x+72\geq 0$

$(x-14)(x-5)\geq 0$

$x=14\ atau\ x=5$

$Maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$

Syarat:
1. $14-x>0\Leftrightarrow x< 14$
2. $x-5>0\Leftrightarrow x>5$
3. $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$

Maka himpunan penyelesaiannya adalah irisan dari $maka\ x\leq 5\ atau\ x\geq 14$ dan syarat. Maka himpunannya adalah $5<x\leq 6\ atau\ 12\leq x< 14$

Lihat juga: Soal-Soal UN Logaritma