Pembahasan Soal SBMPTN Turunan [1]

UM-UGM 2005
Turunan dari $f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$ adalah ...

Pembahasan
$y=\frac{u}{v}\rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$
$f(x)=\frac{x^2-7}{x\sqrt{x}}$, maka
$f'(x)=\frac{2x.(x\sqrt{x})-(x^2-7).\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x\sqrt{x})^2}$

$f'(x)=\frac{2x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}x^2\sqrt{x}+\frac{21}{2}\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}$

$f'(x)=\frac{x^2+21}{2x^2\sqrt{x}}$

SBMPTN 2014

Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=...$

Pembahasan
$f(x)=mx^3+2x^2-nx+5$
$f'(x)=3mx^2+4x-n$
$x=1\rightarrow f'(1)=3m+4-n=0\Leftrightarrow 3m-n=-4$

SIMAK UI 2011
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f'(2)=3$ dan $g'(2)=4$. Jika pada saat $x=2$, turunan dari $(f.g)(x)$ adalah 11 dan turunan dari $f^2+g^2)(x)$ adalah 20, maka turunan dari $\frac{f}{g}(x)$ saat $x=2$ adalah ...

Pembahasan
$(f.9)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$
saat $x=2$ maka $(f.9)'(2)=f'(2).g(2)+f(2).g'(2)$
                      $11=3g(x)+4f(x)...(i)$
Misalkan $h(x)=f^2(x)+g^2(x)$, maka
          $h'(x)=2f(x).f'(x)+2g(x)g'(x)$
          $h'(2)=2f(2).f'(2)+2g(2)g'(2)$
          $20=2f(x).3+2g(x).4$
          $10=3f(x)+4g(x)...(ii)$
Berdasarkan $(i)$ dan $(ii)$ dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier dua variabel, maka dapat diperoleh $g(2)=1$ dan $f(2)=2$. Jadi
$p(x)=\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$p'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
$p'(2)=\frac{f'(2)g(2)-f(2)g'(2)}{(g(2))^2}$
$p'(x)=\frac{3.1-2.4}{(1)^2}=-5$

UM UGM 2018
Fungsi $f(x)=-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1,\ 0\leq x\leq \pi$, mencapai ekstrim pada saat $x=x_1$ dan $x=x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah ...

Pembahasan
Mencapai ekstrim saat turunan pertama sama dengan 0, maka

$f'(x)=0$
$2sin2x+2\sqrt{3}cos2x=0$
$2sin2x=-2\sqrt{3}cos2x$
$\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$
$tan2x=-\sqrt{3}\Rightarrow 2x={120^o,300^o}$

Maka di dapat:
⃝ $2x_1=120^o\Leftrightarrow x_1=60^o$
⃝ $2x_2=300^o\Leftrightarrow x_2=150^o$
$x_1+x_2=60^o+150^o=210^o$
Lihat juga: Materi Turunan,  Soal UN Turunan