Pembahasan Soal SBMPTN Trigonometri [1]

UM UGM 2016

Jika $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$, maka $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$,
Kalikan $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$ dengan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$ maka

$\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$

$\frac{1-sec\ x}{tan\ x}\times \frac{1+sec\ x}{tan\ x}=5B$

$\frac{1-sec^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$\frac{-tan^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$-1=5B\Leftrightarrow B=\frac{-1}{5}$

UM UGM 2015

Nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah ...

Pembahasan
Nilai minimum $f(x)$ diperoleh ketika $f'(x)=0$, yaitu

$f'(x)=2cos\ x-2sin\ 2x=0$

$2cos\ x-2.2sin\ x.cos\ x=0$

$2cos\ x(1-2sin\ x)=0$

$2cos\ x=0\ atau\ 1-2sin\ x=0$

👉 $2cos\ x=0\Leftrightarrow cos\ x=0$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}$
👉 $1-2sin\ x=0\Leftrightarrow sin\ x=\frac{1}{2}$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{6},\ \frac{5\pi }{6}$
Jadi
⃟ $x=0\Rightarrow f(0)=2sin\ 0+cos\ (2.0)=0+1=1$
⃟ $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2+(-1)=1$
⃟ $x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{3\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2(-1)+(-1)=-3$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=2\pi \Rightarrow f(2\pi)=2sin\ (2\pi)+cos\ 2(2\pi)=2.0+1=1$
Jadi nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah (-3)

SBMPTN 2017

Jika $0<x<\frac{\pi }{2}$ dan $3tan^2x+tanx=3$, maka nilai $cos^2x-sin^2x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Berdasarkan trigonometri bahwa $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$
Misalkan $tanx=y$, maka persamaan $3tan^2x+tanx=3$ menjadi $3y^2+y-3=0$
$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.3.(-3)}}{2.3}=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$
Ambil $y=\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}$, karena $0<x<\frac{\pi }{2}$
$tan(2x)=\frac{2.tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}}{1-\left ( \frac{-1+ \sqrt{37}}{6} \right )^2}=\frac{\frac{-2+2\sqrt{37}}{6}}{\frac{-2+2\sqrt{37}}{36}}=\frac{6(-2+2\sqrt{37})}{(-2+2\sqrt{37})}=6$
Berdasarkan $tan(2x)=6$, maka dapat dibuat gambar segitiga siku-siku berikut

Berdasarkan gambar di samping maka $cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{37}}$

SBMPTN 2018 
Jika periode fungsi $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{\pi }{3}$, maka nilai minimum fungsi (f) adalah ...

Pembahasan

Peride dari $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{2\pi }{a}$, maka $\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=6$

 Jadi $f(x)=2cos(6x)+6$

Nilai minimum dari  $cos(6x)$ adalah -1, maka nilai minimum dari $f(x)=2cos(6x)+6$ adalah $2.(-1)+6=4$

Lihat juga: Perubahan grafik trigonomeri, Materi-Materi Trigonometri,

ASIMTOT MIRING SUATU FUNGSI

Sebelumnya, kita sudah pernah bahas asimtot datar dan asimtot tegak dari suatu grafik. Sekarang lebih lengkap rasanya kalau kita bahas asimtot miring. Sebelumya, asimtot adalah garis lurus yang mendekati suatu grafik, namun tidak pernah menyentuh grafik. 

Kriteria kemungkinan fungsi mempunyai asimtot miring.

1).  Suatu fungsi berbentuk pecahan, $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Pangkat tertinggi pembilangnya $f(x)$ harus lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebutnya $g(x)$.

3).  Hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$ merupakan asimtot miringnya, dengan syarat hasil baginya harus berderajat satu [Linier].

Cara menentukan asimtot miring

1). Misalkan diberikan fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Tentukan hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$, misalkan hasil baginya $h(x)=ax+b$ dan sisanya $s(x)$, sehingga 

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)+\frac{s(x)}{g(x)}$

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=(ax+b)+\frac{s(x)}{g(x)}$

3). Persamaan linier $h(x)=ax+b$ merupakan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Contoh soal.
Tentukan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2+6x+3}{x-2}$
Jawab.
Dengan menggunakan cara Horner atau pembagian biasa, hasil bagi $x^2+6x+3$ dibagi $x-2$ adalah $h(x)=x+8$ dan sisanya $s(x)=19$.
Jadi $\frac{x^2+6x+3}{x-2}=(x+8)+\frac{19}{x-2}$
Dengan demikian, asimtot miringnya adalah $h(x)=x+8$. Kalau kita gambar akan jadi seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas, garis putus-putus yang berwarna merah adalah asimtot miring dari fungsi. Kalau diperhatikan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+6x+3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( (x+8)+\frac{19}{x-2} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}$.
👉 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}=0$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)=\infty$. Jadi secara sederhana dapat dikatakan bahwa asimtot miring adalah persamaan garis yang jika dilimitkan dengan $x$ mendekati $\infty$ akan menghasilkan $\infty$ juga.
Lihat juga: Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil

KUMPULAN RUMUS LENGKAP TRIGONOMETRI

Berikut merupakan kumpulan rumus lengkap trigonometri. Untuk penggunaan rumus ini akan saya sajikan dalam pembahasan soal-soal SBMPTN.

IDENTITAS TRIGONOMETRI
$sin^2A+cos^2A=1$
$tan^2A+1=sec^2A$
$1+cotan^2A=cosec^2A$

RUMUS JUMAH DAN SELISIH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin(A+B)=sinA.CosB+cosA.sinB$
$sin(A-B)=sinA.CosB-cosA.sinB$
$cos(A+B)=cosA.cosB-sinA.sinB$
$cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB$
$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}$
$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}$

RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI
$2sinA.cosB=sin(A+B)+sin(A-B)$
$2cosA.sinB=sin(A+B)-sin(A-B)$
$2cosA.cosB=cos(A+B)+cos(A-B)$
$2sinA.sinB=-cos(A+B)+cos(A-B)$

  RUMUS JUMLAH DAN SELISIH TRIGONOMETRI

  $sinA+sinB=2sin\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $sinA-sinB=2cos\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA+cosB=2cos\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA-cosB=-2sin\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $tanA+tanB=\frac{2sin(A+B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

  $tanA-tanB=\frac{2sin(A-B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

RUMUS SUDUT RANGKAP DUA DAN TIGA TRIGONOMETRI
$sin2A=2sinA.cosA$
$cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2-1$
$tan2A=\frac{2tanA}{1-tan^2A}=\frac{2cotA}{cot^2A-1}=\frac{2}{cotA-tanA}$
$cotan2A=\frac{cotan^2A-1}{2.cotanA}$
$sin3A=3sinA-4sin^3A$
$cos3A=4cos^3A-3cosA$
$tan\ 3A=\frac{3tan\ A-tan^3\ A}{1-3tan^2\ A}$
$cot\ 3A=\frac{cot^3\ A-cot\ A}{3tan^2\ A-1}$

RUMUS SETENGAH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$
$cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$
$tan\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}=\frac{sinA}{1+cosA}=\frac{1-cosA}{sinA}$

RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI
Perhatikan gambari dibawah ini

Berdasarkan gambar di samping
❤ Aturan sinus
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
❤ Aturan cosinus
⃟ $a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$
⃟ $b^2=a^2+c^2-2ac.cosB$
⃟ $c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
❤ Aturan luas segitiga
$L\Delta ABC=\frac{1}{2}ab.cosC=\frac{1}{2}ac.cosB=\frac{1}{2}bc.cosA$
$L\Delta ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, dengan $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

RUMUS GANJIL DAN GENAP TRIGONOMETRI
$sin(-A)=-sinA$
$cos(-A)=cosA$
$tan(-A)=-tanA$

Lihat juga: Perubahan Grafik Fungsi Trigonometri

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN KUTUB

❤ Koordinat Kutub❤
Dalam menentukan posisi pada bidang datar, kita sudah mengenal koodinat kartesius. Selain koordinat kartesius, posisi suatu benda juga dapat ditentukan melalui koordinat kutub. Koordinat kutub ini sering digunakan oleh tentara-tentara untuk menandakan lokasi suatu obyek. 

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub [polar axis], sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama dengan huruf O disebut kutub atau titik asal [origin]. Biasanya sumbu kutub digambar mendatar dan mengarah ke kanan, dan oleh karenanya sumbu kutub dapat dilihat sebagai sumbu (x) positif di dalam sistem koordinat kartesius, seperti tampak pada gambar berikut.

Jika $r$ adalah jari-jari lingkaran dan $\theta$ adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh sinar garis dengan sumbu kutub tersebut, maka $(r,\theta)$ adalah pasangan koordinat kutub [polar coordinate] untuk titik (P) dan ditulis $P(r,\theta)$. Perhatikan gambar berikut:

Titik-titik yang dilukiskan dengan koordinat kutub akan mudah digambar, apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas grafik kutub telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar garis yang memancar dari titik kutub. Gambar berikut merupakan beberapa titik yang diplot pada sebuah kertas/kisi kutub.

❤ Persamaan Kutub❤
Seperti halnya sistem koordinat kartesius yang dapat disusun persamaan kartesius dengan peubah-peubah $x$ dan $y$, maka dalam sistem koordinat kutub juga dapat disusun persamaan yang dinamakan persamaan kutub dengan peubah-peubah $r$ dan $\theta$.
Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan tersebut. Cara yang paling mendasar untuk menggambar sebuah grafik adalah menyusun tabel yang berisi nilai-nilai, memplot titik-titik yang bersesuaian, dan kemudian menghubungkan titik-titik tersebut. 
Berikut merupakan contoh persamaan kutub dan grafiknya pada koordinat kutub.
1. Gambarlah grafik dari $r = 8\ sin\ \theta $
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai (r) yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut. 

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.

2. Gambarlah grafik dari $r-5\ cos\ \theta =0$
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai (r) yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.