ASIMTOT MIRING SUATU FUNGSI

Sebelumnya, kita sudah pernah bahas asimtot datar dan asimtot tegak dari suatu grafik. Sekarang lebih lengkap rasanya kalau kita bahas asimtot miring. Sebelumya, asimtot adalah garis lurus yang mendekati suatu grafik, namun tidak pernah menyentuh grafik. 

Kriteria kemungkinan fungsi mempunyai asimtot miring.

1).  Suatu fungsi berbentuk pecahan, $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Pangkat tertinggi pembilangnya $f(x)$ harus lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebutnya $g(x)$.

3).  Hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$ merupakan asimtot miringnya, dengan syarat hasil baginya harus berderajat satu [Linier].

Cara menentukan asimtot miring

1). Misalkan diberikan fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Tentukan hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$, misalkan hasil baginya $h(x)=ax+b$ dan sisanya $s(x)$, sehingga 

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)+\frac{s(x)}{g(x)}$

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=(ax+b)+\frac{s(x)}{g(x)}$

3). Persamaan linier $h(x)=ax+b$ merupakan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Contoh soal.
Tentukan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2+6x+3}{x-2}$
Jawab.
Dengan menggunakan cara Horner atau pembagian biasa, hasil bagi $x^2+6x+3$ dibagi $x-2$ adalah $h(x)=x+8$ dan sisanya $s(x)=19$.
Jadi $\frac{x^2+6x+3}{x-2}=(x+8)+\frac{19}{x-2}$
Dengan demikian, asimtot miringnya adalah $h(x)=x+8$. Kalau kita gambar akan jadi seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas, garis putus-putus yang berwarna merah adalah asimtot miring dari fungsi. Kalau diperhatikan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+6x+3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( (x+8)+\frac{19}{x-2} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}$.
👉 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}=0$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)=\infty$. Jadi secara sederhana dapat dikatakan bahwa asimtot miring adalah persamaan garis yang jika dilimitkan dengan $x$ mendekati $\infty$ akan menghasilkan $\infty$ juga.
Lihat juga: Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil