Pembahasan Soal SBMPTN Trigonometri [1]

UM UGM 2016

Jika $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$, maka $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$,
Kalikan $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$ dengan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$ maka

$\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$

$\frac{1-sec\ x}{tan\ x}\times \frac{1+sec\ x}{tan\ x}=5B$

$\frac{1-sec^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$\frac{-tan^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$-1=5B\Leftrightarrow B=\frac{-1}{5}$

UM UGM 2015

Nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah ...

Pembahasan
Nilai minimum $f(x)$ diperoleh ketika $f'(x)=0$, yaitu

$f'(x)=2cos\ x-2sin\ 2x=0$

$2cos\ x-2.2sin\ x.cos\ x=0$

$2cos\ x(1-2sin\ x)=0$

$2cos\ x=0\ atau\ 1-2sin\ x=0$

👉 $2cos\ x=0\Leftrightarrow cos\ x=0$ maka $x$ yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}$
👉 $1-2sin\ x=0\Leftrightarrow sin\ x=\frac{1}{2}$ maka $x$ yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{6},\ \frac{5\pi }{6}$
Jadi
⃟ $x=0\Rightarrow f(0)=2sin\ 0+cos\ (2.0)=0+1=1$
⃟ $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2+(-1)=1$
⃟ $x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{3\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2(-1)+(-1)=-3$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=2\pi \Rightarrow f(2\pi)=2sin\ (2\pi)+cos\ 2(2\pi)=2.0+1=1$
Jadi nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah $-3$

SBMPTN 2017

Jika $0<x<\frac{\pi }{2}$ dan $3tan^2x+tanx=3$, maka nilai $cos^2x-sin^2x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Berdasarkan trigonometri bahwa $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$
Misalkan $tanx=y$, maka persamaan $3tan^2x+tanx=3$ menjadi $3y^2+y-3=0$
$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.3.(-3)}}{2.3}=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$
Ambil $y=\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}$, karena $0<x<\frac{\pi }{2}$
$tan(2x)=\frac{2.tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}}{1-\left ( \frac{-1+ \sqrt{37}}{6} \right )^2}=\frac{\frac{-2+2\sqrt{37}}{6}}{\frac{-2+2\sqrt{37}}{36}}=\frac{6(-2+2\sqrt{37})}{(-2+2\sqrt{37})}=6$
Berdasarkan $tan(2x)=6$, maka dapat dibuat gambar segitiga siku-siku berikut

Berdasarkan gambar di samping maka $cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{37}}$

SBMPTN 2018 
Jika periode fungsi $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{\pi }{3}$, maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ...

Pembahasan

Peride dari $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{2\pi }{a}$, maka $\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=6$

 Jadi $f(x)=2cos(6x)+6$

Nilai minimum dari  $cos(6x)$ adalah -1, maka nilai minimum dari $f(x)=2cos(6x)+6$ adalah $2.(-1)+6=4$

Lihat juga: Perubahan grafik trigonomeri, Materi-Materi Trigonometri,