Rumus dan Teorema Penting dalam Integral

Setelah kita memahami perbedaan integral tentu dan tak tentu. Berikut merupakan rumus-rumus dan beberapa teorema yang penting dalam integral:

1. [Teorema]: Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$
2. [Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral]: Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$, maka terdapat suatu bilangan $c$ antara $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $\int_{a}^{b}f(t)dt=f(c)(b-a)$
3. [Teorema pendeferensialan suatu Integral Tentu]: Andaikan $f$ kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ dan andaikan $x$ sebuah $(variabel)$ titik dalam $[a,b]$. Maka $D_x\left [ \int_{a}^{x}f(t)dt \right ]=f(x)$
   $D_x$ merupakan turunan terhadap $x$
4. [Teorema Keterbatasan]: Jika $f$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $m\leq f(x)\leq M$ untuk semua $x$ dalam $[a,b]$, maka $m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$
5. [Teorema Perbandingan]: Jika $f$ dan $g$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $f(x)\leq g(x)$ untuk semua $x$ dalam $[a,b]$, maka $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int x^{-1}dx=ln|x|+c$
2. $\int e^x\ dx=e^x+C$
3. $\int a^x\ dx=\frac{a^x}{ln\ a}+C$
4. $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=sin^{-1}\frac{u}{a}+C$
5. $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}tan^{-1}\ \frac{u}{a}+C$
6. $\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{u+a}{u-a} \right |+C$
7. $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-a^2}}=\frac{1}{a}sec^{-1}\left | \frac{u}{a} \right |+C$

$\bigstar$ Integral Trigonometri

1. $\int cos\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sin\ (ax+b)+c$
2. $\int sin\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cos\ (ax+b)+c$
3. $\int sec^2\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}tan\ (ax+b)+c$
4. $\int csc^2\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}cot\ (ax+b)+c$
5. $\int sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)dx=\frac{1}{a}sec\ (ax+b)+c$
6. $\int csc\ (ax+b).cot\ (ax+b)dx=-\frac{1}{a}csc\ (ax+b)+c$
7. $\int tan\ u\ dx=-ln|cos\ u|+C$
8. $\int cot\ u\ dx=ln|sin\ u|+C$
9. $\int sec\ u\ dx=ln|sec\ u+tan\ u|+C$
10. $\int csc\ u\ dx=ln|csc\ u-cot\ u|+C$

$\bigstar$ Bentuk-Bentuk Dasar Integral

1. $\int ue^u\ du=(u-1)e^u+C$
2. $\int ln\ u\ du=u\ ln\ u-u+C$
3. $\int u^ne^u\ du=u^ne^u-n\int u^{n-1}e^u\ du$
4. $\int u^n\ ln\ u\ du=\frac{u^{n+1}}{n+1}ln\ u-\frac{u^{n+1}}{(n+1)^2}+C$
5. $\int e^{au}sin\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ sin\ bu-b\ cos\ bu)+C$
6. $\int e^{au}cos\ bu\ du=\frac{e^{au}}{a^2+b^2}(a\ cos\ bu-b\ sin\ bu)+C$