UTS MATEMATIKA SMP KELAS IX SEMESTER 2

TEOREMA L'HOSPITAL

 Teorema L'Hospital merupakan cara alternatif untuk menyelesaikan masalah limit bentuk pecahan. Adapun syaratnya adalah

1. Limit yang kita kerjakan berupa limit pecahan $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}  \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}  \right ]$ 

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{0}{0}$

3. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]$

Teorema L'Hospital 

Misalkan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f^n(x)}{g^n(x)}$

Catatan: $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$, $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$ dan seterusnya

Contoh:

1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=...$

Pembahasan

Jika kita menggunakan metode substitusi maka  $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\frac{2^2+3.2-10}{2^2+4.2-12}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ memenuhi syarat penggunaan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2.2+3}{2.2+4}=\frac{7}{8}$

2. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=...$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode substitusi maka diperoleh $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{3^2-9}{3^2-3-6}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ maka tidak bisa digunakan metode substitusi. Jadi dalam kasus ini kita bisa gunakan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2.3}{2.3-1}=\frac{6}{5}$

SOAL MATEMATIKA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Rumus Lengkap Turunan Trigonometri

Rumus turunan fungsi trigonometri

$y'$ merupakan turunan pertama dari $y$, maka 

$\bigstar\ y=sin\ x \Rightarrow y'=cos\ x$ 

$\bigstar\ y=cos\ x \Rightarrow y'=-sin\ x$ 

$\bigstar\ y=tan\ x \Rightarrow y'=sec^2\ x$

$\bigstar\ y=cotan\ x \Rightarrow y'=-cosec^2\ x$

$\bigstar\ y=sec\ x \Rightarrow y'=sec\ x.tan\ x$

$\bigstar\ y=cosec\ x \Rightarrow y'=-cosec\ x.cot\ x$

Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri

Misalkan $y=sin\ (ax+b)$, maka tentukan turunannya

Penjelasan: Untuk kasus ini kita akan menggunakan turunan berantai, dimana jika $y=sin\ u$ maka $y'=(cos\ u).(u')$.

Misalkan $u=ax+b \Rightarrow u'=a$, dimana $u'$ merupakan turunan dari $u$. Maka $y=sin\ (ax+b)\Rightarrow y=sin\ u \Rightarrow y'=(cos\ u).(u')=cos\ (ax+b).a=a.cos\ (ax+b)$

Jadi $y=sin\ (ax+b)=a.cos\ (ax+b)$

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut:

$\bigstar\ y=sin\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.cos\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=cos\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.sin\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=tan\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cotan\ (ax+b) \Rightarrow y'=-acosec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=sec\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cosec\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.cosec\ (ax+b).cot\ (ax+b)$

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari $y=2cos\ x$

Pembahasan: Ingat kembali bahwa $y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$

Jadi: $y=2cos\ x \Rightarrow y'=2(-sin\ x)=-2sin\ x$

2. Tentukan turunan dari $y=tan\ (2\theta-3)$

Pembahasan: Misalkan $u=(2\theta-3) \Leftrightarrow u'=2$

Jadi: $y=tan\ u$

$y'=u'.sec^2\ u$

$y'=2.sec^2\ (2\theta-3)$