Pembahasan Soal SBMPTN Integral [1]

SBMPTN 2018
Nilai $\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan:
$\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
$u=3+\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\Leftrightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Untuk menyederhanakan perhitungan, kita ubah batasnya
untuk batas bawah $x=1\Rightarrow u=3+\sqrt{1}=4$
untuk batas atas $x=36\Rightarrow u=3+\sqrt{36}=9$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{3}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}dx$
   $=\int_{1}^{36}{\frac{6}{(3+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
   $=\int_{4}^{9}{\frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}}du$
   $=\int_{4}^{9}6u^{-\frac{3}{2}}du$
   $=\left [ \frac{6}{-\frac{1}{2}}u^{-\frac{3}{2}} \right ]\begin{matrix}9\\\\4\end{matrix}$
   $=-12\left [ \frac{1}{\sqrt{9}}- \frac{1}{\sqrt{4}}\right ]$
   $=-12\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \right )$
   $=-4+6=2$

SBMPTN 2018

Daerah $R$ dibatasi oleh $y=\sqrt{x},\ y=-x+6$ dan sumbu-x. Volume benda padat yang di dapat dengan memutar $R$ terhadap sumbu-x adalah ...

Pembahasan
Kalau di gambar, kedua fungsi berikut menjadi

Titik $A$ adalah titik potong kedua grafik, maka

$\sqrt{x}=-x+6$

$x=x^2-12x+36$

$x^2-13x+36=0$

$(x-9)(x-4)=0\rightarrow x=9\ atau\ x=4$ pilih $x=4$

Karena benda putar, maka volumenya adalah
$V=\pi \int_{0}^{4}\left ( \sqrt{x} \right )^2dx+\pi \int_{4}^{6}(-x+6)^2dx$
    $=\pi\left [\frac{1}{2}x^2 \right ]\begin{matrix}4\\ 0\end{matrix}+\left [\frac{1}{3}(-x+6) \right ]\begin{matrix}6\\ 4\end{matrix}$
    $=8\pi +\frac{8}{3}\pi =\frac{32}{3}\pi$ satuan luas

Jika $f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt$ maka $f'(x)=18$ untuk $x=...$

Pembahasan
$g(t)=6t^2$ merupakan fungsi genap, karena $g(-t)=6(-t)^2=6t^2=g(t)$. Maka
$f(x)=\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}6t^2dt=2\int_{0}^{\sqrt{x}}6t^2dt=\left [ 4t^3 \right ]\begin{matrix}{\sqrt{x}}\\ 0\end{matrix}=4t^{\frac{3}{2}}$

$f'(x)=4.\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

$18=6\sqrt{x}$

$3=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=9$

Jika nilai $\int_{b}^{a}f(x)dx=5$ dan $\int_{c}^{a}f(x)dx=0$, maka $\int_{c}^{b}f(x)dx=...$

Pembahasan

$\int_{b}^{a}f(x)dx=5\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=-5$
$\int_{c}^{a}f(x)dx=0\Rightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=-0\Leftrightarrow \int_{a}^{c}f(x)dx=0$
Jadi $\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $0=-5+\int_{b}^{c}f(x)dx$
               $5=\int_{b}^{c}f(x)dx\Leftrightarrow \int_{c}^{b}f(x)dx=-5$