SIFAT-SIFAT DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=a.d-b.c$. Untuk determinan matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut:
1. $|A|=det(A)$
2. $|A^t|=|A|$, dimana $A^t$ adalah tranpose dari matriks $A$.
3. $|A.B|=|A|.|B|$, dimana $A$ dan $B$ adalah matriks. Sifat ini dapat diperumum misalkan tiga matriks $|A.B.C|=|A|.|B|.|C|$ atau lebih dari tiga matriks.
4. $|A^n|=|A|^n$
5. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
6. $|bA_{m\times m}|=b^m|A|$ dimana $b$ adalah koefisien dan $m\times m$ adalah orde dari matriks $A$.

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan determinan dari matriks $A$.
Pembahasan
Determinan dari matriks $A$ adalah $det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$

2. Jika $A=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)\, B=\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$  dan $A+3C^t=2B$, maka nilai $det(C)=...$
Pembahasan

$A+3C^t=2B$
$3C^t=2B-A$
$3C^t=2\left ( \begin{matrix}4 & 1\\ 5 & 2\end{matrix} \right )-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)-\left ( \begin{matrix}-1 & -4\\ 7 & 1\end{matrix} \right)$
$3C^t=\left ( \begin{matrix}9 & 6\\ 3 & 3\end{matrix} \right)$
$3^2det(C^t)=27-18$
$9\ det(C)=9\Leftrightarrow det(C)=1$

INVERS MATRIKS

Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}$. Misalkan matriks $A$ dengan orde $2\times 2,\  A=\left ( \begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix} \right )$. Maka $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}d & -b\\ -c & a\end{matrix} \right )$. Untuk invers matriks orde $3\times 3$ dan yang lainnya akan dijelaskan pada artikel lain.

Sifat-sifat invers matriks adalah sebagai berikut:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $A^{-1}.A=A.A^{-1}=I$

3. $AB=I$ artinya $A$ dan $B$ saling invers yaitu $A^{-1}=B$ dan $B^{-1}=A$

4. $(AB)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}$

5. $AB=C\Rightarrow A=C.B^{-1}\ atau\ B=A^{-1}.C$

Contoh soal.
1. Diberikan matriks $A=\left ( \begin{matrix}4 & 3\\ 5 & 2\end{matrix} \right )$. Tentukan invers dari matriks $A$.
Pembahasan
$det\ (A)=|A|=4.2-3.5=8-15=-7$.
Invers dari matriks $A$ adalah $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\frac{1}{-7}\left ( \begin{matrix}2 & -3\\ -5 & 4\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix}-2/7 & 3/7\\ 5/7 & -4/7\end{matrix} \right )$

2. Diketahui matriks $A=\left ( \begin{matrix}-2 & -5\\ 1 & 3\end{matrix} \right),\ C=\left ( \begin{matrix}4 & 6\\ 3 & 5\end{matrix} \right )$ Jika $B$ memenuhi $A.B=C$, maka $det(2B^{-1})$ adalah ...
Pembahasan
Dalam hal ini, kita menggunakan sifat-sifat dari determinan dan invers.

$A.B=C$
$det(A.B)=det(C)$
$det(A).det(B)=det(C)$
$(-2.3-(-5).1).det(B)=4.5-6.3$
$-1.det(B)=2\Leftrightarrow det(B)=-2$

$det(2.B^{-1})=2^2.det(B^{-1})$
                   $=4.\frac{1}{det(B)}$
                   $=4. \frac{1}{-2}=-2$