Pembahasan Soal SBMPTN Vektor [1]

SBMPTN 2017

Diketahui vektor-vektor $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $\vec{b}=(-2,1), \vec{b}\perp \vec{c}$ dan $\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $\left | \vec{a} \right |=5$ dan sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\alpha$, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $\vec{a}, \vec{b}$, dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=\vec{b}.\vec{b}+\vec{b}.\vec{c}$
$\vec{b}.\vec{a}=(-2,1).(-2,1)+0$
$\vec{b}.\vec{a}=4+1=5$

       $\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$
       $\left | \vec{a} \right |^2=\vec{b}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c}$
       $25=5+\vec{a}.\vec{c}$
       $20=\vec{a}.\vec{c}$
$\vec{c}$ adalah proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{c}$, maka
 $|\vec{c}|=\frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{c}|}$
 $|\vec{c}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
 $|\vec{c}|^2=20$
 $|\vec{c}|=2\sqrt{5}$
 $L\Delta =\frac{1}{2}|\vec{b}|.|\vec{c}|=\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}=5$

Vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ dan $|\vec{b}|=\sqrt{7}$ dan $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$, maka $\vec{a}.\vec{c}=...$

Pembahasan
$sin\ \alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}\rightarrow cos\ \alpha = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$, [gunakan segitiga]
    $\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}$
    $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$
    $\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{a}=\vec{a}.\vec{c}$
    $|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos\ \alpha -|\vec{a}|^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $\sqrt{5}.\sqrt{7}.\frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{7}}-(\sqrt{5})^2=\vec{a}.\vec{c}$
    $-\sqrt{30}-5=\vec{a}.\vec{c}$

Diketahui vektor $\vec{a}=(4,6),\ \vec{b}=(3,4)$, dan $\vec{c}=(p,0)$. Jika $|\vec{c}-\vec{a}|=10$, maka cosinus sudut antara $\vec{b}$ dan $\vec{c}$ adalah ...

Pembahasan
$|\vec{c}-\vec{a}|=\sqrt{|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2.\vec{a}.\vec{c}}$
$10=\sqrt{p^2+(4^2+6^2)-2.4.p}$
$100=p^2+52-8p$
$p^2-8p-48=0$
$(p+4)(p-12)=0$
$p=-4\ atau\ p=12$
♣ Untuk $p=-4$
      $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha$
      $3.(-4)+4.0=5.4cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=-\frac{3}{5}$
♣ Untuk $p=12$
     $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{c}|cos\ \alpha $
     $3.12+4.0=5.12cos\ \alpha\Leftrightarrow cos\ \alpha=\frac{3}{5}$

Diketahui tiga vektor  $\vec{a},\vec{b}$, dan $\vec{c}$ dengan $|\vec{b}|=3,\ |\vec{c}|=4$, dan $\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$. Jika $\gamma$ adalah sudut antara vektor $\vec{a}.\vec{a}=25$, maka $sin\ \gamma=...$

Pembahasan
$\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}$
$\vec{b}=\vec{c}-\vec{a}$
$\vec{b}.\vec{c}=\vec{c}.\vec{c}-\vec{a}.\vec{c}=|\vec{c}|^2-25=16-25=-9$
    $\vec{b}.\vec{c}=|\vec{b}|.|\vec{b}|cos\ \gamma$
    $-9=3.4.cos\ \gamma$
    $\frac{-3}{4}=cos\ \gamma\rightarrow sin\ \gamma=\frac{\sqrt{7}}{4}$