TRANSFORMASI [PENCERMINAN/REFLEKSI]

Pencerminan/Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik atau bangun dengan menggunakan sifat pembentukan bayangan oleh sebuah cermin.

Ingat!

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks  $M=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$, maka $(x,y)\xrightarrow[]{M}(x',y')$ dengan $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

Rumus-rumus refleksi
❤ Refleksi terhadap sumbu-x
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-x}(x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-x adalah $M=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap sumbu-y
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ sumbu-y}(-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap sumbu-y adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x}(y,x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-y,-x)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x$ adalah $M=\begin{bmatrix}0 & -1\\-1&0\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap titik asal $(0,0)$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ titik\ asal}(-x,-y)$
Matriks pencerminan terhadap titik asal adalah $M=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $x=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ x=k}(2k-x,y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $x=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-k\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\\0 \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=k}(x,2k-y)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=x+k}(y-k,x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=-x+k$
$(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x+k}(-y+k,-x+k)$
Matriks pencerminan terhadap garis $y=-x+k$ adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y-k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\k \end{bmatrix}$
❤ Refleksi terhadap garis $y=mx$, dimana $m=tan\ \alpha$
Matriks pencerminan adalah $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\ 2\alpha  & sin\ 2\alpha\\ sin\ 2\alpha & -cos\ 2\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

CONTOH SOAL
1. Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah ...
Pembahasan
Berdasarkan rumus di atas maka $(3,2)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=-x}(-2,-3)$ atau kalau kita menggunakan matriks tranformasi jadinya $\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0  & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}$
Jadi Hasil pencerminan titik $A(3,2)$ terhadap garis $y=-x$ adalah $A'(-2,-3)$
2. Hasil pencerminan garis $y=x+3$ terhadap garis $y=2$ adalah ...
Pembahasan
Misalkan kita ambil sebarang titik $(x,y)$ yang berada pada garis $y=x+3$. Maka sesuai rumus trasformasi di atas $(x,y)\xrightarrow[]{ref\ garis\ y=2}(x,4-y)$, dimana $(x',y')=(x,4-y)$. $x'=x$ dan $y'=4-y\leftrightarrow y=4-y'$.
Substitusi  $x'=x$ dan $y=4-y'$ ke persamaan $y=x+3$. Maka diperoleh $y=x+3\Leftrightarrow 4-y'=x'+3\Leftrightarrow -y'=x'-1\Leftrightarrow y'=1-x'$. Dengan menghilangkan aksennya merupakan hasil dari perncerminan terhadap garis $y=2$ yaitu $y=1-x$.
Cara seperti ini juga berlaku jika yang dicerminkan adalah lingkaran maupun elips.

Lihat juga materi barisan dan deret, dimensi tiga, integral, limit, lingkaran