SUDUT DUA BUAH LINGKARAN

Sudut dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Misalkan di ketahui:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
Lingkaran $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di titik $P$ dan masing-masing mempunyai garis singgung $g_1$ dan $g_2$ seperti gambar di bawah. Sudut antara lingkaran $L_1$ dan $L_2$ adalah $\alpha$.

Berdasarkan gambar di atas, maka:

$\angle L_2PL_1=\angle L_2PB+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle CPB=\angle CPL_1+\angle BPL_1=90^o+\angle BPL_1$
$\angle L_2PL_1=\angle CPB$

Jadi $\alpha =180^o-\angle CPB=180^o-\angle L_2PL_1$

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran. Lihat gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $r_1\perp r_2$, sehingga $\Delta L_1PL_2$ adalah segitiga siku-siku di $P$. Diketahui $L_1\left ( -\frac{1}{2}A_1,-\frac{1}{2}B_1 \right ), L_2\left ( -\frac{1}{2}A_2,-\frac{1}{2}B_2 \right ), r_1=\sqrt{\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1}$ dan $r_2=\sqrt{\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2}$.
Sehingga berlaku
$(L_1L_2)^2=(r_1)^2+(r_2)^2$
$\left ( -\frac{1}{2}A_2-(-\frac{1}{2}A_1) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B_2-(-\frac{1}{2}B_1) \right )^2=\frac{1}{4}(A_1)^2+\frac{1}{4}(B_1)^2-C_1+\frac{1}{4}(A_2)^2+\frac{1}{4}(B_2)^2-C_2$
$\frac{1}{4}(A_2-A_1)^2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)^2=\frac{1}{4}((A_1)^2+(B_1)^2-4C_1)+\frac{1}{4}((A_2)^2+(B_2)^2-4C_2)$
$(A_2-A_1)^2+(B_2-B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$(A_2)^2-2A_1A_2+(A_1)^2+(B_2)^2-2B_1B_2+(B_1)^2=(A_1)^2+(B_1)^2-4C_1+(A_2)^2+(B_2)^2-4C_2$
$-2A_1A_2-2B_1B_2=4C_1-4C_2$
$A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Jika diketahui lingkaran:
$L_1:x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0$
$L_2:x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0$
maka, kedua lingkaran tersebut tegak lurus jika $A_1A_2+B_1B_2=2C_1+2C_2$

Lihat juga: Materi Lingkaran, UN Lingkaran