SOAL DAN PEMBAHASAN DIMENSI TIGA

Sebelumnya kita bahas tentang rumus penting pada dimensi tiga, sekarang adalah contoh soal dari materi tersebut.

Soal 1. Jarak titik ke titik

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\ cm$, titik $P$ di tengah rusuk $AB$. Tentukan jarak titik $P$ ke $G$.

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, titik $P$ dan $G$ terletak pada $\Delta PCG$ dan siku-siku di titik $C$. Jadi dengan menggunakan Phytagoras dapat ditentukan panjang $PG$. Terlebih dahulu kita cari panjang $PC$. $PC=\sqrt{PB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

⧭$PG=\sqrt{PC^2+CG^2}$

        $=\sqrt{(3\sqrt{5})^2+6^2}$

        $=\sqrt{45+36}$

        $=\sqrt{81}=9\ cm$

Soal 2. Jarak titik ke garis

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke garis $HB$!

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke garis $HB$ adalah panjang $AA'$. Terlebih dahulu kita mencari panjang garis $AH$ [Diagonal Bidang] dan garis $HB$ [Diagonal Ruang] .  $AH=s\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ dan $HB=s\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Perhatikan $\Delta ABH$! 

⧭$L_{ABH}=L_{ABH}$

⟺$\frac{1}{2}(AB)(AH)=\frac{1}{2}(HB)(AA')$

⟺$(4)(4\sqrt{2})=(4\sqrt{3})(AA')$

⟺$AA'=\frac{4}{3}{\sqrt{6}}\ cm$

Soal 3. Jarak titik ke bidang

Pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $12\ cm$, tentukan jarak titik $A$ ke bidang $HDF$

Pembahasan

Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar di atas, jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ ke bidang $HDBF$ [Karena bidang bisa diperluas]. Untuk mencari jarak tersebut, kita akan membuat bidang yang melalui titik $A$ dan tegak lurus dengan bidang $HDBF$. Bidang yang tegak lurus tersebut adalah bidang $ACGE$. Perpotongan antara bidang $HDBF$ dengan bidang $ACGE$ adalah garis $XY$. Jadi jarak titik $A$ ke bidang $HDF$ adalah jarak titik $A$ dengan garis $XY$.
⧭ Perhatikan $\Delta AYX$, karena siku-siku di $Y$ maka jarak titik $A$ dengan garis $XY$ adalah panjang garis $AY$ yaitu setengah dari diagonal bidang $AC=\frac{1}{2}.12\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ cm$

Lihat kembali: Rumus penting pada dimensi tiga

RUMUS PENTING PADA DIMENSI TIGA

Dimensi tiga merupakan materi yang diajarkan di SMA kelas 3 pada kurikulum 2013. Pada pembahasan kali ini, saya hanya menyinggung sedikit tentang materi ini yaitu pada pembahasan mencari jarak antara dua titik, jarak antara titik dengan garis, jarak antara titik dengan bidang.

1) Jarak antara titik dengan titik

Untuk mencari jarak antara titik dengan titik sering kali digunakan Rumus Phytagoras. Rumus Phytagoras ini dapat digunakan pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga di samping, terlihat bahwa segitiga tersebut siku-siku di titik $B$. Oleh karena itu dapat dibuat persamaan Phytagorasnya adalah $(AC)^2=(AB)^2+(BC)^2$ atau 

$b^2=c^2+a^2$ atau

$c^2=b^2-a^2$ atau

$a^2=b^2-c^2$

Trik: 

1. Gambarkan titik yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga siku-siku yang melalui titik tersebut.

3. Cari jarak titik ke titik menggunakan Rumus Phytagoras.

2) Jarak antara titik dengan garis

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $p$ ke garis $g$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus terhadap garis $g$. 

Perhatikan gambar di bawah!

Jarak titik $P$ ke garis $g$ adalah jarak titik $P$ ke titik $P'$.

⧭Untuk mencari jarak antara titik dengan garis, ada beberapa hal penting yang harus dipahami.

a. Rumus Phytagoras [seperti yang sudah dijelaskan di atas]
b. Rumus Luas Segitiga

Terdapat tiga rumus untuk mencari luas segitiga, tergantung yang mana yang dibutuhkan.

➤ Jika sebuah segitiga diketahui panjang alas dan tingginya, untuk mencari luas segitiga dapat dilihat gambar di bawah.

Luas segitiga adalah $\frac{1}{2}alas\times tinggi$

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB$

$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times BD$

[Ingat: Tinggi segitiga merupakan tegak lurus dengan alasnya]

$L_{\Delta ABC}=L_{\Delta ABC}$

$\frac{1}{2}BC\times AB=\frac{1}{2}AC\times BD$

$BC\times AB=AC\times BD$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui dua sisinya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Luas segitiga $ABC$ di samping adalah
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AB \times sin\ {\beta }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}BC\times AC \times sin\ {\gamma }$
$L_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\times AB \times sin\ {\alpha }$

➤ Jika sebuah segitiga diketahui ketiga sisinya, luas segitiga dapat dicari

$L_{\Delta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan $s=\frac{a+b+c}{2}$

c. Rumus trigonometri aturan sin, cos, dan tan

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$sin\ {\alpha }=\frac{depan}{miring}=\frac{AC}{AB}$
$cos\ {\alpha }=\frac{samping}{miring}=\frac{BC}{AB}$
$tan\ {\alpha }=\frac{depan}{samping}=\frac{AC}{BC}$








d. Aturan cosinus
Aturan cosinus digunakan untuk mencari salah satu sudut jika diketahui ketiga sisi-sisinya atau untuk mencari salah satu sisi jika diketahui panjang sisi-sisi lainnya dan sudut yang diapit oleh sisi-sisi tersebut.

Berdasarkan gambar di samping, bahwa
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ (A)$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ (B)$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ (C)$

Trik:

1. Gambarkan titik dan garis yang dimaksud [Biasanya soal pada kubus atau balok]

2. Buat segitiga yang melalui titik dan garis tersebut [Usahakan buat segitiga yang siku-siku]

3. Cari jarak titik ke garis yaitu panjang garis dari titik tersebut yang tegak lurus dengan garis [seringnya menggunakan luas segitiga]

3. Jarak antara titik dengan bidang

Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik $P$ ke bidang $v$. Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik $P$ tegak lurus dengan bidang $v$

Perhatikan gambar di bawah.

$PP'=$ merupakan jarak titik $P$ ke bidang $v$

Trik: Ubahlah jarak titik $P$ ke bidang $v$ menjadi jarak titik $P$ ke garis $g$
1. Lukislah bidang $w$ yang melalui $P$ dan tegak lurus $v$
2. Lukis garis $g$ yang merupakan perpotongan antara bidang $v$ dan $w$.
3. Jarak titik $P$ ke bidang $v$ adalah jarak titik $P$ ke garis $g$ [Kemudian selesaikan dengan trik mencari jarak titik ke garis seperti penjelasan sebelumnya].

Lihat: Soal dan pembahasan mengenai jarak titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang

Distribusi Normal

Distribusi Normal merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu. Distribusi Normal juga sering disebut dengan Distribusi Gauss. Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu:

1. Grafik simetri terhadap garis tegak $x=\mu$, dengan $\mu$ adalah rata-rata.

2. Grafik selalu berada di atas sumbu $X$ atau $f(x)>0$

3. Mempunyai satu nilai modus

4. Grafiknya mendekati sumbu $X$ tetapi tidak pernah memotong sumbu $X$ [Sumbu $x$ merupakan asimtot datar]

5. Luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$ sama dengan 1, yaitu $P(-\infty<x<\infty)=1$

Persamaan umum distribusi normal adalah $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}$

MENENTUKAN PELUANG DISTRIBUSI NORMAL

Peluang distribusi normal $f(x)$ pada interval $a<x<b$ ditentukan dengan menghitung luas daerah di bawah kurva $f(x)$ dan di atas sumbu $X$. Kalau disajikan dalam gambar akan tampak seperti di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, luas daerah di bawah grafik dan di atas sumbu x adalah 1 dan garis tegak $x=\mu$ merupakan garis sumbu simetri oleh karena itu di sebelah kanan garis $x=\mu$ mempunyai luas $\frac{1}{2}$. Begitupun untuk luas di sebelah kiri $x=\mu$. 

Luas daerah di atas adalah $P(a<x<b)=\int_{a}^{b}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e ^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{x-\mu}{\sigma } \right )^{2}}}dx$. Proses pengintegralan tersebut sulit untuk dilakukan, oleh karena itu penyelesaianya dilakukan dengan menggunakan transformasi nilai-nilai $X$ menjadi nilai-nilai baku $Z$ yaitu $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.  Dengan tranformasi tersebut, diperoleh rata-rata $\mu=0$ dan $\sigma=1$, sehingga distribusi $f(x)$ berubah menjadi $f(Z)$ dengan persamaan $f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}},-\infty <Z<\infty$.

Jadi peluang $P(z_1<Z<z_2)=\int_{z_1}^{z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{^-\frac{1}{2}Z^{2}}dx$

Dengan nilai  $P(z_1<Z<z_2)$ dapat dihitung menggunakan table Z.

Distribusi peubah acak normal dengan rataan $0$ dan simpangan baku $1$ disebut dengan distribusi normal baku.

CONTOH SOAL

([1]) Diketahui suatu variable acak $X$ mempunyai distribusi normal dengan rata-rata $18$ dan simpangan baku $\frac{5}{2}$. Nilai dari $P(17<X<21)$ adalah …

Jawab.

Diketahui di soal bahwa $\mu=18$ dan $\sigma =\frac{5}{2}$ dan dapat dicari $z_1=\frac{x_1-\mu}{\sigma}=\frac{17-18}{\frac{5}{2}}=-0,4$ dan $z_2=\frac{x_2-\mu}{\sigma}=\frac{21-18}{\frac{5}{2}}=1,2$.

Maka nilai $P(17<X<21)$ ditranformasikan menjadi $P(-0,4<Z<1,2)$

$P(-0,4<Z<1,2)=P(0<Z<0,4)+P(0<Z<1,2)=0,1554+0,3849=0,5303$. 

Catatan: luas daerah kurva normal antara dengan $-0,4<Z<0=0<Z<0,4$

([2]) Suatu variabel acak (X) memenuhi distribusi normal baku . Nilai $P(1,42<Z<2,54)$ adalah

Jawab. 

$P(1,42<Z<2,54)=P(0<Z<2,54)-P(0<Z<1,42)=0,4945-0,4222=0,0723$

Cara membaca table Z
Misalkan kita akan menentukan nilai dari $P(0<Z<1,42)$. Yang perlu diperhatikan adalah angka 1,42 yang kita pecah menjadi 1,4 dan 2. Angka 1,4 kita lihat pada table sebelah kiri secara vertical dan angka 2 lihat di atas table secara horizontal. Hubungkan kedua angka tersebut seperti menghubungkan titik pada koodinat kartesius. Dalam table akan ketemu $P(0<Z<1,42)=0,4222$. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

 Dalam kurva normal akan tampak seperti di bawah ini.

Berkas Lingkaran

Berkas Lingkaran merupakan lingkaran-lingkaran yang dapat dibuat dari titik potong dua lingkaran. Kalau kedua lingkaran itu $L_1=0$ dan $L_2=0$, maka berkas lingkaran itu $L_1+\lambda\ L_2=0$ dimana $L_1$ dan $L_2$ disebut dengan lingkaran dasar dan kedua titik potongnya disebut dengan titik-titik dasar.

Pada pembahasan kali ini, terdapat dua kasus dalam berkas lingkaran.
❤Kasus Pertama: Kedua lingkaran saling berpotongan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah dan berpotongan di dua titik yaitu titik $A$ dan $B$.
❤Kasus Kedua: Kedua lingkaran saling bersinggungan
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas terlihat bahwa lingkaran dasarnya adalah $L_1$ dan $L_2$ yang berwarna merah saling bersinggungan. Titik $A$ merupakan titik singgung kedua lingkaran.

     Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa dan pusatnya berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran dasarnya [sentral].

Berikut merupakan contoh soal dari berkas lingkaran
Soal 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $O$ dan titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-6x-8y-11=0$ dan $x^2+y^2-4x-6y-22=0$.
Pembahasan
      $L_1\equiv x^2+y^2-6x-8y-11=0$
      $L_2\equiv x^2+y^2-4x-6y-22=0$
Persamaan lingkaran yang ditanyakan akan berbentuk
      $L_1+\lambda L_2=0$
      $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
Karena lingkaran yang ditanyakan melalui $O$, maka substitusi $(0,0)$ ke $x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
      $0^2+0^2-6.0-8.0-11+\lambda (0^2+0^2-4.0-6.0-22)=0$
      $-22\lambda=11$
      $\lambda=-\frac{1}{2}$
Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah
$x^2+y^2-6x-8y-11+\lambda (x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$x^2+y^2-6x-8y-11-\frac{1}{2}(x^2+y^2-4x-6y-22)=0$
$2x^2+2y^2-12x-16y-22-x^2-y^2+4x+6y+22=0$
$x^2+y^2-8x-10y=0$
Soal 2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran $x^2+y^2-x+7y-3=0$ dan $x^2+y^2-5x-y+1=0$ yang berpusat di garis $x-y=0$
Pembahasan
    $L_1\equiv x^2+y^2-x+7y-3=0$
    $L_2\equiv x^2+y^2-5x-y+1=0$
Berdasarkan sifat istimewa dari berkas lingkaran bahwa pusat dari berkas lingkaran berada pada garis yang menghubungkan kedua pusat dari lingkaran dasar. Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, pusat lingkaran 1[$P_1(\frac{1}{2},-\frac{7}{2})$] dan lingkaran 2 [$P_2(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$]. Maka persamaan garis yang menghubungkan kedua persamaan lingkaran tersebut adalah
    $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{7}{2}}=\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}$
    $\frac{y+\frac{7}{2}}{4}=\frac{x-\frac{1}{2}}{2}$
    $2y+7=4x-2$
    $4x-2y=9$
Karena titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. Maka titik pusat lingkaran yang kita cari berada pada perpotongan garis $4x-2y=9$ dan $x-y=0$. $x$ dan $y$ kita cari menggunakan cara substitusi atau eliminasi dari kedua persamaan tersebut, dan di dapat hasilnya $x=\frac{9}{2}$ dan $y=\frac{9}{2}$. Maka titik pusatnya $\left ( \frac{9}{2},\frac{9}{2} \right )$.
Persamaan lingkaran yang di cari akan berbentuk $L_1+\lambda L_2=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $(1+\lambda )x^2+(1+\lambda )y^2-(1+5\lambda)x+(7-\lambda)y-3+\lambda=0$
    $x^2+y^2-\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right )x+\left ( \frac{7-\lambda}{1+\lambda}\right )y+\frac{3+\lambda}{1+\lambda}=0$
Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, maka absis [sumbu-x] dari pusat lingkaran tersebut adalah
    $-\frac{1}{2}\left ( -\left ( \frac{1+5\lambda}{1+\lambda} \right ) \right )=\frac{9}{2}$
    $\frac{1+5\lambda}{1+\lambda}=9$
    $1+5\lambda=9+9\lambda$
    $\lambda=-2$
Ordinat dari pusat lingkaran juga bisa di gunakan, dan tetap di dapat $\lambda=-2$
Jadi persamaan lingkarannya adalah
    $x^2+y^2-x+7y-3+\lambda (x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2(x^2+y^2-5x-y+1)=0$
    $x^2+y^2-x+7y-3-2x^2+-2y^2+10x+2y-2=0$
    $x^2+y^2-9x-9y+5=0$