TEOREMA L'HOSPITAL

 Teorema L'Hospital merupakan cara alternatif untuk menyelesaikan masalah limit bentuk pecahan. Adapun syaratnya adalah

1. Limit yang kita kerjakan berupa limit pecahan $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}  \right ]$

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{0}{0}  \right ]$ 

Contohnya: $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{2^3-8}{2-2}=\frac{0}{0}$

3. Hasil limit jika kita gunakan dengan cara substitusi hasilnya $\left [\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right ]$

Teorema L'Hospital 

Misalkan $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}g(x)=0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f^n(x)}{g^n(x)}$

Catatan: $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$, $f''(x)$ merupakan turunan kedua dari $f(x)$ dan seterusnya

Contoh:

1. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=...$

Pembahasan

Jika kita menggunakan metode substitusi maka  $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\frac{2^2+3.2-10}{2^2+4.2-12}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ memenuhi syarat penggunaan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+3x-10}{x^2+4x-12}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2x+3}{2x+4}=\frac{2.2+3}{2.2+4}=\frac{7}{8}$

2. Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=...$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode substitusi maka diperoleh $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\frac{3^2-9}{3^2-3-6}=\frac{0}{0}$. Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ maka tidak bisa digunakan metode substitusi. Jadi dalam kasus ini kita bisa gunakan Teorema L'Hospital.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2.3}{2.3-1}=\frac{6}{5}$

SOAL MATEMATIKA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Rumus Lengkap Turunan Trigonometri

Rumus turunan fungsi trigonometri

$y'$ merupakan turunan pertama dari $y$, maka 

$\bigstar\ y=sin\ x \Rightarrow y'=cos\ x$ 

$\bigstar\ y=cos\ x \Rightarrow y'=-sin\ x$ 

$\bigstar\ y=tan\ x \Rightarrow y'=sec^2\ x$

$\bigstar\ y=cotan\ x \Rightarrow y'=-cosec^2\ x$

$\bigstar\ y=sec\ x \Rightarrow y'=sec\ x.tan\ x$

$\bigstar\ y=cosec\ x \Rightarrow y'=-cosec\ x.cot\ x$

Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri

Misalkan $y=sin\ (ax+b)$, maka tentukan turunannya

Penjelasan: Untuk kasus ini kita akan menggunakan turunan berantai, dimana jika $y=sin\ u$ maka $y'=(cos\ u).(u')$.

Misalkan $u=ax+b \Rightarrow u'=a$, dimana $u'$ merupakan turunan dari $u$. Maka $y=sin\ (ax+b)\Rightarrow y=sin\ u \Rightarrow y'=(cos\ u).(u')=cos\ (ax+b).a=a.cos\ (ax+b)$

Jadi $y=sin\ (ax+b)=a.cos\ (ax+b)$

Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat dirangkum sebagai berikut:

$\bigstar\ y=sin\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.cos\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=cos\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.sin\ (ax+b)$ 

$\bigstar\ y=tan\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cotan\ (ax+b) \Rightarrow y'=-acosec^2\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=sec\ (ax+b) \Rightarrow y'=a.sec\ (ax+b).tan\ (ax+b)$

$\bigstar\ y=cosec\ (ax+b) \Rightarrow y'=-a.cosec\ (ax+b).cot\ (ax+b)$

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari $y=2cos\ x$

Pembahasan: Ingat kembali bahwa $y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$

Jadi: $y=2cos\ x \Rightarrow y'=2(-sin\ x)=-2sin\ x$

2. Tentukan turunan dari $y=tan\ (2\theta-3)$

Pembahasan: Misalkan $u=(2\theta-3) \Leftrightarrow u'=2$

Jadi: $y=tan\ u$

$y'=u'.sec^2\ u$

$y'=2.sec^2\ (2\theta-3)$

TRANSFORMASI [Putaran/Rotasi]

Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu. Untuk rumus rotasi bisa dilihat di bawah ini.

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$

$R_{[0,\alpha]}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}$

Misalkan titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

❤ Matriks transformasi rotasi dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$

Jika titik $(x,y)$ dirotasikan dengan pusat $(a,b)$ dengan sudut putar $\alpha$ akan menghasilan titik $(x',y')$ dimana $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

❤ Beberapa bentuk perubahan langsung pada rotasi dengan pusat $(0,0)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),90^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),180^o]}}(-x,-y)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),270^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-90^o]}}(y,-x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-270^o]}}(-y,x)$

$(x,y)\xrightarrow[]{R_{[(0,0),-180^o]}}(-x,-y)$

PENTING

${\alpha}^0$ berlawanan arah jarum jam artinya sudutnya ${\alpha}^0$

${\alpha}^0$ searah jarum jam artinya sudutnya $-{\alpha}^0$

Contoh Soal

1. Titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam. Tentukan bayangan titik $B$ tersebut.

Pembahasan

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ \alpha  & -sin\ \alpha  \\ sin\ \alpha& cos\ \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a\\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (-90^0)  & -sin\ (-90^0)  \\ sin\ (-90^0)& cos\ (-90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5-2\\-1-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\ (90^0)  & sin\ (90^0)  \\ -sin\ (90^0)& cos\ (90^0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0  & 1  \\ -1& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0 \end{pmatrix}$

Jadi koordinat bayangan titik $B(5,-1)$ dirotasikan terhadap titik $P(2,3)$ sejauh $90^0$ searah putaran jarum jam adalah $B'(2,0)$ 

2. Persamaan bayangan kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$ adalah ...

Pembahasan

Rotasi $[0,180^0]$ maksudnya rotasi dengan pusat $(0,0)$ dengan sudut putar sejauh $180^0$ berlawanan arah dengan jarum jam. Matriks rotasinya adalah $R_{[0,180^0]}=\begin{pmatrix}cos\ 180^0  & -sin\ 180^0  \\ sin\ 180^0& cos\ 180^0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & 0  \\ 0& -1 \end{pmatrix}$.

Misalkan titik yang kita ambil di kurva $y=x^2-2x-3$ adalah $(x,y)$, maka titik $(x',y')$ adalah hasil rotasinya. Maka:

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1  & -(0)  \\ 0& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\-y \end{pmatrix}$

Jadi $x'=-x \Leftrightarrow x=-x' $ dan  $y'=-y \Leftrightarrow y=-y' $, substitusi ke persamaan kurva

$y=x^2-2x-3$

$\Leftrightarrow -y'=(-x')^2-2(-x')-3$

$\Leftrightarrow -y'=(x')^2+2x'-3$

$\Leftrightarrow y'=-(x')^2-2x'+3$

hilangkan tanda aksennya, maka 

$y'=x^2-2x+3$

Inilah hasil rotasi kurva $y=x^2-2x-3$ oleh rotasi $[0,180^0]$