Soal Masuk Perguruan Tinggi Materi Trigonometri

Soal UMB 2015
Jika $\Theta$ adalah sudut di kuadran 4 yang memenuhi $tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$, maka $sin\ \Theta +cos\ \Theta = ...$
A. $1-\sqrt{3}$
B. $\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
C. $-\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
D. $-(1-\sqrt{3})$
E. $2-\sqrt{3}$

Pembahasan
$\bigstar\ tan^2\ \Theta =4sin^2\ \Theta$
$\frac{sin^2\ \Theta}{cos^2\ \Theta } =4sin^2\ \Theta$
$\frac{1}{cos^2\ \Theta } =4,\ karena\ sin^2\ \Theta\neq 0$
$cos^2\ \Theta =\frac{1}{4}$
$cos\ \Theta =\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
$cos\ \Theta =\pm \frac{1}{2}$
$\bigstar\ Ambil\ cos\ \Theta =\frac{1}{2},\ karena\ \Theta\ di\ kuadran\ 4$
Untuk mencari $cos\ \Theta$ gunakan Pytagoras, dan hasilnya akan seperti berikut.

dari gambar di samping, di dapat $sin\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, tanda negatif karena berada nilai $sinus$ di kuadran 4 adalah negatif. Jadi $sin\ \Theta +cos\ \Theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})$
Jawaban B

Soal UMB 2016
Pada gambar $\Delta ABC$ berikut. $\frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}=$

A. $\frac{a+b+c}{abc}$
B. $\frac{a+b+c}{2abc}$
C. $\frac{2(a+b+c)}{abc}$
D. $\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$
E. $\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$

Catatan Untuk Pembahasan
Untuk menjawab soal ini, kita gunakan aturan $cosinus$. Berdasarkan gambar di atas, maka aturan $cosinus$-nya
$a^2=b^2+c^2-2bc.cos\ \alpha \Leftrightarrow cos\ \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$b^2=a^2+c^2-2ac.cos\ \beta \Leftrightarrow cos\ \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$c^2=a^2+b^2-2ab.cos\ \gamma \Leftrightarrow cos\ \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Pembahasan
$\bigstar\ \frac{cos\ \alpha }{a}+\frac{cos\ \beta }{b}+\frac{cos\ \gamma }{c}$
$=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}+\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}{b}+\frac{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{c}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
Jawaban E