Menentukan Asimtot Datar dan Tegak Suatu Fungsi

ASIMTOT DATAR

Untuk menentukan asimtot datar yaitu dengan cara menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty$

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{b}{ax}}=0$. Maka asimtot datarnya adalah $y=0$.

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$

Maka asimtot datarnya berbentuk $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}}=\frac{a}{p}$. Maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$.

Kasus 3. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Jika kita menghitung nilai limit fungsi untuk $x\rightarrow \infty$, yaitu $y=\lim_{x\rightarrow \infty }{\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}}=\infty$. Karena hasilnya $\infty$, maka fungsi di atas tidak mempunyai asimtot datar.

Kesimpulan:

• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n> m$, maka fungsi $f(x)$ tidak mempunyai asimtot datar.
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n=m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=\frac{a}{p}$
• $f(x)=\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+g}{px^{m}+qx^{m-1}+rx^{m-2}+...+u}$, dengan $n< m$, maka fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot datar di $y=0$

ASIMTOT TEGAK

Untuk menentukan asimtot tegak dengan cara menentukan harga $x$ sehingga $y$ mendekati tak hingga.

Kasus 1. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{b}{ax}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat $x$ mendekati $0$. Maka asimtot tegaknya adalah $x=0$

Kasus 2. Fungsi dengan bentuk $f(x)=\frac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$

Fungsi di atas akan bernilai tak hingga saat $x$ mendekati $\frac{-q}{p}$

Kesimpulan:
Suatu fungsi akan mempunyai asimtot tegak jika fungsi tersebut berbentuk fungsi pecahan. Asimtot dari fungsi tersebut adalah pembuat nol dari penyebutnya.

Contoh Soal 1:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-3x-4}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 2 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=\frac{1}{1}=1$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-3x-4=0$
  $(x+1)(x-4)=0$
  $x=-1\ atau\ x=4$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-1$ dan $x=4$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini

Contoh Soal 2:
Tentukan asimtot tegak dan asimtot datar dari grafik $y=\frac{x+1}{x^{2}-4x-12}$
Jawab

• Asimtot Datar
  Karena pangkat tertinggi penyebutnya adalah 2 dan pangkat tertinggi pembilangnya juga 1 maka berdasarkan materi asimtot datar di atas, asimtot datarnya adalah $y=0$
• Asimtot Tegak
  Ingat bahwa asimtot tegak dari fungsi adalah pembuat nol dari penyebutnya, maka
  $x^{2}-4x-12=0$
  $(x+2)(x-6)=0$
  $x=-2\ atau\ x=6$
  Maka asimtot tegaknya adalah $x=-2$ dan $x=6$

Jika kita sketsa grafik di atas, akan tampak seperti di bawah ini