KEKONTINUAN SUATU FUNGSI

Kontinu dalam arti sederhana adalah proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Fungsi yang kontinu adalah fungsi yang grafiknya terus berlanjut tanpa adanya putus atau hilang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.
1. Fungsi $g(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

2. Fungsi $f(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

 3. Fungsi $h(x)$ kontinu

Definisi:

Fungsi $f(x)$ dikatakan kontinu pada (x=a) jika $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Dari definisi di atas, secara implisit mengartikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ kontinu mensyaratkan tiga hal berikut.

1. $f(a)$ terdefinisi [ada]

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ ada

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Sedangkan, fungsi $f(x)$ dikatakan diskontinu pada (x=b) jika \lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a).

Perhatikan contoh berikut:

1. Diketahui fungsi (f) sebagai berikut:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1\ ;\ x>1\\ 2\ ;\ x=1\\ 3x^2-1\ ;\ x<1\end{matrix}\right.$

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat (x=1).

Jawab.

👉 $f(1)=2$ [Terdefinisi/ada]

👉 Berdasarkan materi Konsep Limit maka $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}{3x^2-1}={3(1)^2-1}=2$ sedangkan $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}{x+1}=1+1=2$. Karena limit kiri sama dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$

👉 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)=2$

Karena ketiga syarat tersebut terpenuhi, maka fungsi $f(x)$ di atas kontinu saat (x=1).
2. Diketahui fungsi (g) sebagai berikut:
$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat (x=1)

Jawab.

👉$g(1)$ tidak ada, karena jika kita substitusi (x=1) ke fungsi $g(x)$ akan menghasilkan penyebutnya 0. Oleh karena itu $g(1)$ tidak terdefinisi.

Karena syarat pertama sudah tidak terpenuhi, maka kita tidak perlu mengecek syarat kedua dan ketiga karena sudah pasti fungsi $g(x)$ tidak kontinu.