Pembahasan Soal UN Garis Singgung

Soal 1, UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ yang sejajar dengan garis $3x-y+5=0$ adalah ...
A. $3x-y+4=0$
B. $3x-y-4=0$
C. $3x-y-20=0$
D. $x-3y-4=0$
E. $x-3y+4=0$

Konsep dasar yang digunakan dalam perhitungan:

• Gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $m=f'(x_1)$, dengan $f'(x)$ turunan dari $f(x)$
• Persamaan garis singgung dengan gradien $m$ dan sebuah titik $(x_1,y_1)$ adalah $y-y_1=m(x-x_1)$
• Persamaan garis $ax+by+c=0$ mempunyai gradien $m$, dengan $m=-\frac{a}{b}$
• Dua garis dikatakan sejajar apabila gradiennya sama, yaitu $m_1=m_2$

Pembahasan
$3x-y+5=0$ mempunyai gradien $m_1=-\frac{3}{(-1)}=3$
Gradien garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ adalah $m_2=y'=2x-5$
Karena garis $3x-y+5=0$ sejajar dengan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$, maka gradiennya sama
$m_1=m_2$
$3=2x-5$
$8=2x\rightarrow x=4$
Untuk mencari $y$, substitusi $x=4$ ke persamaan $y=x^{2}-5x+12$
$y=4^{2}-5.4+12$
$y=16-20+12$
$y=8$
Maka persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-5x+12$ mempunyai gradien $m_2=3$ dan melalui titik $(4,8)$
$y-y_{1}=m(x-x_{1})$
$y-8=3(x-4)$
$y-8=3x-12$
$y=3x-12+8$
$y=3x-4$
$3x-y-4=0$
Jawaban B

Soal yang sejenis

1. UN SMA Tapel 2017/2018 Program studi IPA
   Persamaan garis singgung grafik $y=x^{2}-4x-5$ yang sejajar dengan garis $2x-y-6=0$ adalah ...
   A. $2x-y-19=0$
   B. $2x-y-14=0$
   C. $2x-y-11=0$
   D. $2x-y+2=0$
   E. $2x-y+5=0$
   

Soal 1, UN SMA Tapel 2016/2017 Program studi IPA
Diketahui grafik fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$. Salah satu persamaan garis singgung yang melalui titik potong kurva dan garis tersebut adalah ...
A. $y=5x+7$
B. $y=5x-1$
C. $y=x+5$
D. $y=3x-7$
E. $y=3x+5$

Pembahasan
Karena fungsi $y=2x^{2}-3x+7$ berpotongan dengan garis $y=4x+1$, maka kita perlu mencari titik potong kedua fungsi tersebut.
$2x^{2}-3x+7=4x+1$
$2x^{2}-7x+6=0$
$(2x-3)(x-2)=0$
$x_1=\frac{3}{2}\ atau\ x_2=2$
Substitusi $x_1=\frac{3}{2}$ dan $x_2=2$ ke persamaan $y=4x+1$

Untuk $x=\frac{3}{2}$ maka di dapat $y=4.\frac{3}{2}+1=7$. Jadi titiknya $(\frac{3}{2},7)$
Untuk $x=2$ maka di dapat $y=4.2+1=9$. Jadi titiknya $(2,9)$

$y=2x^{2}-3x+7 \mapsto y'=4x-3$
$x_1=\frac{3}{2} \mapsto m_1=y'=4.\frac{3}{2}-3=3$
$x_2=2 \mapsto m_2=y'=4.2-3=5$
Jadi terdapat dua garis singgung
Pertama garis singgung kurva yang melalui titik $(\frac{3}{2},7)$ dan mempunyai gradien 3
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-7=3(x-\frac{3}{2})$
$y=3x-\frac{9}{2}+7$
$y=3x+\frac{5}{3}$
Kedua garis singgung kurva yang melalui titik $(2,9)$ dan mempunyai gradien 5
$y-y_1=m(x-x_1)$
$y-9=5(x-2)$
$y=5x-10+9$
$y=5x-1$
Jawaban B

UN Matematika Program Studi IPS Tahun 2013
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{2x-1}{3x-1}$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)$. Nilai dari $f'(1)=...$
A. -3
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan
Misal:
$u=2x-1$
$u'=2$
$v=3x-1$
$v'=3$
$f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
     $=\frac{2(3x-1)-(2x-1)3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{6x-2-6x+3}{(3x-1)^{2}}$
     $=\frac{1}{(3x-1)^{2}}$
$f'(1)=\frac{1}{(3.1-1)^{2}}=\frac{1}{4}$