Hubungan Antar Sudut

Perhatikan gambar di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, dua garis biru pada gambar di atas adalah sejajar dan dipotong oleh satu garis merah. Maka hubungan antar sudut sebagai berikut.
Sebagai catatan:
🍀 $\angle A_1$ maksudnya adalah sudut $A_1$
🍀 $\angle CAB=\angle A_3,\ \angle DBE=\angle B_3$, dan seterusnya

Sudut Sehadap adalah dua buah sudut yang besarnya sama. Berdasarkan gambar di atas, sudut sehadap adalah

♣ $\angle A_1=\angle B_1$

♣ $\angle A_2=\angle B_2$

♣ $\angle A_3=\angle B_3$

♣ $\angle A_4=\angle B_4$

Sudut dalam bersebrangan adalah dua buah sudut yang besarnya sama.Berdasarkan gambar di atas, sudut dalam bersebrangan adalah
♣ $\angle A_3=\angle B_1$
♣ $\angle A_4=\angle B_2$

Sudut luar bersebrangan adalah dua buah sudut yang besarnya sama.Berdasarkan gambar di atas, sudut luar bersebrangan adalah
♣ $\angle A_1=\angle B_3$
♣ $\angle A_2=\angle B_4$

Sudut dalam sepihak adalah dua buah sudut jika dijumlahkan hasilnya $180^o$. Berdasarkan gambar di atas sudut dalam sepihak adalah
♣ $\angle A_4+\angle B_1=180^o$
♣ $\angle A_3+\angle B_2=180^o$

Sudut luar sepihak adalah dua buah sudut jika dijumlahkan hasilnya $180^o$. Berdasarkan gambar di atas sudut luar sepihak adalah
♣ $\angle A_1+\angle B_4=180^o$
♣ $\angle A_2+\angle B_3=180^o$

Sudut saling bertolak belakang adalah dua buah sudut yang mempunyai besar sama. Berdasarkan gambar di atas sudut saling bertolak belakang adalah
♣ $\angle A_1=\angle A_3$
♣ $\angle A_2=\angle A_4$
♣ $\angle B_1=\angle B_3$
♣ $\angle B_2=\angle B_4$

Sudut berpelurus adalah dua buah sudut yang jika dijumlahkan menghasilkan $180^o$. Berdasarkan gambar di atas, sudut saling berpelurus adalah
♣ $\angle A_1+\angle A_3=180^o$
♣ $\angle A_1+\angle A_4=180^o$
♣ $\angle A_2+\angle A_3=180^o$
♣ $\angle A_3+\angle A_4=180^o$
♣ $\angle B_1+\angle B_3=180^o$
♣ $\angle B_1+\angle B_4=180^o$
♣ $\angle B_2+\angle B_3=180^o$
♣ $\angle B_3+\angle B_4=180^o$
Catatan: Pelurus dari $\angle A_1$ adalah $\angle A_3$, pelurus dari $\angle A_2$ adalah $\angle A_3$ dan seterusnya

Contoh soal
Perhatikan gambar berikut

Berapakah nilai dari

      a. $x=...?$

      b. $\angle ABC=...?$

      c. $\angle ABE=...?$

      d. $\angle HCG=...?$

      e. $\angle EBF=...?$

Pembahasan

Berdasarkan gambar di atas, dua garis yang biru merupakan garis yang sejajar. Garis merah memotong garis biru tersebut. 

a. $\angle ABC=3x+60^o$ dan $\angle BCD=150^o$. Hubungan sudut $\angle ABC$ dengan sudut $\angle BCD$ adalah bersebrangan dalam. Maka $\angle ABC=\angle BCD$

$3x+60^o=150^o$

$3x=150^o-60^o$

$3x=90^0$

$x=\frac{90^0}{3}$

$x=30^0$

b. $\angle ABC=...?$

$\angle ABC=3x+60^o$

$\angle ABC=3.30^o+60^o$

$\angle ABC=90^o+60^o$

$\angle ABC=150^o$

atau bisa dicari dengan hubungan sudut $\angle ABC$ dan sudut $\angle BCD$ adalah bersebrangan dalam. Maka $\angle ABC=\angle BCD=150^o$

c. $\angle ABE=...?$

$\angle ABE$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut saling berpelurus, maka jika kedua sudut tersebut dijumlahkan akan menghasilkan $180^o$

$\angle ABE+\angle ABC=180^o$

$\angle ABE+150^o=180^o$

$\angle ABE=180^o-150^o$

$\angle ABE=50^o$

d. $\angle HCG=...?$

$\angle HCG$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut yang sehadap, maka kedua sudut tersebut sama.

$\angle HCG=\angle ABC$

$\angle HCG=150^o$

e. $\angle EBF=...?$

$\angle EBF$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut yang saling bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut sama.

$\angle EBF=\angle ABC$

$\angle EBF=150^o$

❤❤  Dua buah sudut saling berpenyiku ❤❤

Perhatikan gambar di bawah ini untuk memahami dua sudut saling perpenyiku.

Berdasarkan gambar di atas, maka $\angle ABC$ saling berpenyiku dengan sudut $\angle CBD$. Oleh karena itu, maka

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

Catatan: Penyikut $\angle ABC$ adalah $\angle CBD$, begitupun sebaliknya yaitu penyiku $\angle CBD$ adalah $\angle ABC$

Contoh soal

Perhatikan gambar di bawah ini,

Tentukan

a. $x=...?$

b. $\angle ABC=...?$

c. $\angle CBD=...?$

d. Penyiku dari sudut CBD adalah ...

Pembahasan

a. Karena $\angle ABC$ dan $\angle CBD$ saling berpenyiku, maka 

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

$x+2x+30^o=90^o$

$3x+30^o=90^o$

$3x=90^o-30^o$

$3x=60^o$

$x=\frac{60^o}{3}=20^o$

b. $\angle ABC=...?$

$\angle ABC=x=20^o$

c.  $\angle CBD=...?$

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

$20^o+\angle CBD=90^o$

$\angle CBD=90^o-20^o=80^o$

d. Penyiku dari sudut CBD adalah sudut ABC yaitu $20^o$

Lihat tugas di link berikut.

Catatan: 

1. Buat tugas di kertas lempiran dengan menggunakan cara/pembahasan

2. Pelajari materi di atas dan contoh soalnya untuk menjawab soal, jika ada pertanyaan bisa coment di bawah ini. Diskusi juga bisa dilakukan di coment.
3. Setiap siswa yang coment masalah materi akan bapak catatan sebagai nilai untuk keaktifan.
4. Batas pengerjaan sampai tanggal 21 Maret 2020. Yang sudah selesai segera foto dan kirim ke bapak.

SELAMAT BEKERJA

Soal-soal Hubungan Antar Sudut

1. Perhatikan gambar di bawah ini

Berapakah nilai dari
a. $y=...$
b. $\angle BAE=...?$
c. $\angle BAG=...?$
d. $\angle DEA=...?$
e. $\angle CEA=...?$

2. Perhatikan gambar di bawah ini

Tentukan
a. $x=...?$
b. $\angle RQS=...?$
c. Tentukan penyiku dari sudut RQS

Pembahasan Soal SBMPTN Trigonometri [1]

UM UGM 2016

Jika $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$, maka $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$,
Kalikan $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$ dengan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$ maka

$\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$

$\frac{1-sec\ x}{tan\ x}\times \frac{1+sec\ x}{tan\ x}=5B$

$\frac{1-sec^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$\frac{-tan^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$-1=5B\Leftrightarrow B=\frac{-1}{5}$

UM UGM 2015

Nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah ...

Pembahasan
Nilai minimum $f(x)$ diperoleh ketika $f'(x)=0$, yaitu

$f'(x)=2cos\ x-2sin\ 2x=0$

$2cos\ x-2.2sin\ x.cos\ x=0$

$2cos\ x(1-2sin\ x)=0$

$2cos\ x=0\ atau\ 1-2sin\ x=0$

👉 $2cos\ x=0\Leftrightarrow cos\ x=0$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}$
👉 $1-2sin\ x=0\Leftrightarrow sin\ x=\frac{1}{2}$ maka (x) yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{6},\ \frac{5\pi }{6}$
Jadi
⃟ $x=0\Rightarrow f(0)=2sin\ 0+cos\ (2.0)=0+1=1$
⃟ $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2+(-1)=1$
⃟ $x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{3\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2(-1)+(-1)=-3$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=2\pi \Rightarrow f(2\pi)=2sin\ (2\pi)+cos\ 2(2\pi)=2.0+1=1$
Jadi nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah (-3)

SBMPTN 2017

Jika $0<x<\frac{\pi }{2}$ dan $3tan^2x+tanx=3$, maka nilai $cos^2x-sin^2x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Berdasarkan trigonometri bahwa $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$
Misalkan $tanx=y$, maka persamaan $3tan^2x+tanx=3$ menjadi $3y^2+y-3=0$
$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.3.(-3)}}{2.3}=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$
Ambil $y=\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}$, karena $0<x<\frac{\pi }{2}$
$tan(2x)=\frac{2.tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}}{1-\left ( \frac{-1+ \sqrt{37}}{6} \right )^2}=\frac{\frac{-2+2\sqrt{37}}{6}}{\frac{-2+2\sqrt{37}}{36}}=\frac{6(-2+2\sqrt{37})}{(-2+2\sqrt{37})}=6$
Berdasarkan $tan(2x)=6$, maka dapat dibuat gambar segitiga siku-siku berikut

Berdasarkan gambar di samping maka $cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{37}}$

SBMPTN 2018 
Jika periode fungsi $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{\pi }{3}$, maka nilai minimum fungsi (f) adalah ...

Pembahasan

Peride dari $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{2\pi }{a}$, maka $\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=6$

 Jadi $f(x)=2cos(6x)+6$

Nilai minimum dari  $cos(6x)$ adalah -1, maka nilai minimum dari $f(x)=2cos(6x)+6$ adalah $2.(-1)+6=4$

Lihat juga: Perubahan grafik trigonomeri, Materi-Materi Trigonometri,

ASIMTOT MIRING SUATU FUNGSI

Sebelumnya, kita sudah pernah bahas asimtot datar dan asimtot tegak dari suatu grafik. Sekarang lebih lengkap rasanya kalau kita bahas asimtot miring. Sebelumya, asimtot adalah garis lurus yang mendekati suatu grafik, namun tidak pernah menyentuh grafik. 

Kriteria kemungkinan fungsi mempunyai asimtot miring.

1).  Suatu fungsi berbentuk pecahan, $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Pangkat tertinggi pembilangnya $f(x)$ harus lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebutnya $g(x)$.

3).  Hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$ merupakan asimtot miringnya, dengan syarat hasil baginya harus berderajat satu [Linier].

Cara menentukan asimtot miring

1). Misalkan diberikan fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Tentukan hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$, misalkan hasil baginya $h(x)=ax+b$ dan sisanya $s(x)$, sehingga 

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)+\frac{s(x)}{g(x)}$

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=(ax+b)+\frac{s(x)}{g(x)}$

3). Persamaan linier $h(x)=ax+b$ merupakan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Contoh soal.
Tentukan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2+6x+3}{x-2}$
Jawab.
Dengan menggunakan cara Horner atau pembagian biasa, hasil bagi $x^2+6x+3$ dibagi $x-2$ adalah $h(x)=x+8$ dan sisanya $s(x)=19$.
Jadi $\frac{x^2+6x+3}{x-2}=(x+8)+\frac{19}{x-2}$
Dengan demikian, asimtot miringnya adalah $h(x)=x+8$. Kalau kita gambar akan jadi seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas, garis putus-putus yang berwarna merah adalah asimtot miring dari fungsi. Kalau diperhatikan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+6x+3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( (x+8)+\frac{19}{x-2} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}$.
👉 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}=0$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)=\infty$. Jadi secara sederhana dapat dikatakan bahwa asimtot miring adalah persamaan garis yang jika dilimitkan dengan $x$ mendekati $\infty$ akan menghasilkan $\infty$ juga.
Lihat juga: Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil