KONSEP LIMIT FUNGSI

Materi Limit merupakan materi yang dipelajari di SMA. Materi ini sangat penting karena konsep diferensial dan integral dibangun berdasarkan konsep limit fungsi. Berikut merupakan teorema dasar mengenai Konsep Limit.

Teorema
$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=L$ dan $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=L$

Berdasarkan Teorema di atas, bahwa limit $f(x)=L$ untuk $x$ mendekati $c$ terjadi jika limit $f(x)=L$ untuk $x$ didekati dari kanan maupun kiri $c$. Untuk lebih jelasnya, lihat gambar di bawah ini.

Sedangkan, jika limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka $f(x)$ dikatakan tidak punya nilai limit.

Jika $\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow c^+}f(x)$ jika dan hanya jika $\lim_{x\rightarrow c}f(x)$ tidak ada

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh soal:
$g(x)=\left\{\begin{matrix}-x+1;\ x<1\\ x-1;\ 1<x<2\\ 5-x^2;\ x\geq 2\end{matrix}\right.$
1. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^-}(x-1)=1-1=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}(-x+1)=-1+1=0$
 Karena $\lim_{x\rightarrow1^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow1^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow1}g(x)=0$

2. Tentukan nilai  $\lim_{x\rightarrow2}g(x)=...$
Tentukan limit kanan dan limit kiri!
Limit Kiri⟹      $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^-}(x-2)=2-2=0$
Limit Kanan⟹ $\lim_{x\rightarrow2^+}g(x)=\lim_{x\rightarrow2^+}(5-x^2)=5-2^2=1$
Karena $\lim_{x\rightarrow2^-}g(x)\neq \lim_{x\rightarrow2^+}g(x)$, maka $\lim_{x\rightarrow2}g(x)$ Tidak Mempunyai Nilai Limit di $x$ mendekati $2$.


Lihat Juga: Turunan, Soal UN Materi Limit

PERUBAHAN GRAFIK TRIGONOMETRI

Grafik $sin\ x,\ cos\ x,\ atau\ tan\ x$ sudah lumrah kita kenal dan ingat. Akan tetapi bagaimana kalau kita diminta untuk menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45)+1$?. Bagaimana langkah kita menggambar fungsi tersebut? Apakah kita dapat memperoleh grafik tersebut berdasarkan grafik dasar $sin\ x$?. Dalam artikel ini akan dibahas bagaimana cara kita memperoleh grafik tersebut. Sebelum kita menjawab soal tersebut, ada beberapa hal yang harus kalian pahami.

Diketahui fungsi:

$y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C$

$y=Acos\ B(x+\alpha^o)+C$

$y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$

❤ Perubahan $A$ mempengaruhi amplitudo suatu fungsi. Amplitudo didefinisikan $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}$.

⃝ Jika $A$ isi tanda negatif $(-)$, maka grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o )+C,\ y=Acos\ B(x+\alpha^o )+C$ atau $y=Atan\ B(x+\alpha^o )+C$ dicerminkan terhadap sumbu-$x$. Lihat gambar di bawah sebagai contoh.

❤ Perubahan $B$ mempengaruhi periode. Untuk $(sin\ Bx)\ atau\ (cos\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{360^o}{B}$ artinya, sejauh $\frac{360^o}{B}$ menghasilkan satu gelombang. Sedangkan untuk $(tan\ Bx)\ mempunyai\ periode=\frac{180^o}{B}$. Jika $B$ negatif $(-)$, maka lihat kembali materi grafik fungsi genap dan fungsi ganjil.

❤ Perubahan $\alpha^o$ mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x)$ searah sumbu -$x$ yaitu ke kiri maupun ke kanan. Jika $(+\alpha^o)$ grafik akan digeser ke kiri, sedangkan $(-\alpha^o)$  grafik akan digeser ke kanan.

❤ Perubahan $C$ mempengaruhi pergeseran grafik $y=Asin\ B(x+\alpha^o)$ atau $y=Acos\ B(x+\alpha^o)$ searah sumbu-$y$ yaitu ke atas maupun ke bawah. Jika $(-C)$ grafik di geser ke bawah sejauh $C$ sedangkan jika $(+C)$ grafik di geser ke atas sejauh $C$.

 

⃞ Sebagai contoh, kita akan menggambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$

Langkah-langkah menggambar grafik di atas sebagai berikut:

1. Gambar dulu grafik $y=2sin\ x$ dengan amplitudonya 2, di dapat dari $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=\frac{2-(-2)}{2}=2$. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

2. Gambar grafik $y=2sin\ 2x$ dengan periodenya $periode=\frac{360^o}{2}=180^o$ artinya sejauh $180^o$ menghasilkan satu gelombang. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

3. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)$. Dengan penambahan sudut $90^o\Rightarrow y=2sin\ 2(x+45^o)=2sin\ (2x+90^o)$ maka grafik pada langkah-2 di geser ke kiri sejauh $45^o$. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

4. Gambar grafik $y=2sin\ 2(x+45^o)+1$. Untuk menggambar grafik ini tinggal menggeser grafik pada langkah ke-3 ke atas sejauh 1 satuan. Gambarnya akan tampak seperti di bawah ini.

Untuk menggambar grafik trigonometri yang lain, langkah-langkahnya juga sama seperti di atas.
Lihat juga: Soal UN Trigonometri dan Soal SBMPTN berkaitan Trigonometri

GRAFIK FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Definisi Fungsi Genap

Sebuah fungsi genap adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap sumbu $y$.

❤Contoh Fungsi Genap.
1. $f(x)=x^2,\ karena\ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^2$

2. $f(x)=cos\ x,\ karena\ f(-x)=cos\ (-x)=cos\ x=f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=cos\ x$

Definisi Fungsi Ganjil

Sebuah fungsi ganjil adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti persamaan $f(-x)=-f(x)$, artinya bahwa grafik $y=f(x)$ akan simetris terhadap titik asal.

❤Contoh Fungsi Ganjil
1. $f(x)=x^3,\ karena\ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=x^3$

2. $f(x)=sin\ x,\ karena\ f(-x)=sin\ (-x)=-sin\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=sin\ x$

3. $f(x)=tan\ x,\ karena\ f(-x)=tan\ (-x)=-tan\ x=-f(x)$
Grafik fungsi $f(x)=tan\ x$

Lihat juga: Soal Fungsi Komposisi Ujian Nasional SMA