SEGITIGA DAN SEGIEMPAT

Berikut merupakan penggalan buku dari Matematika Kelas VII Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2017 Materi Segitiga dan Segiempat.

Penggalan Buku Matematika yang di tulis oleh J. Dris, Tasari yang diterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementrian Pendidikan Nasional Tahun 2011.

Penggalan Buku Matematika yang di tulis oleh Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni "Matematika Konsep dan Aplikasinya" Tahun 2008.

Soal Latihan

1). Sebuah kolam berbentuk persegi dengan ukuran sisinya $10\ m$. Tentukan

      a. Keliling kolam

      b. Luas kolam

2). Bentuk rumah Burhan adalah persegi dengan luas $64\ m^2$. Tentukan ukuran sisi dari rumah Burhan.

3). Sebuah lapangan basket berbentuk persegi panjang memiliki luas $84\ m^2$ dengan panjang $12m$. Hitunglah lebar dan keliling lapangan tersebut.

4). Kamar mandi Cupli akan dipasangi keramik. Luas kamar mandi $20\ m^2$, dan luas keramik $20\ cm^2$. Berapa dus yang diperlukan untuk memasang keramik tersebut dengan catatan 1 dus = 5 buah keramik.

Catatan: 

    ❤ $1\ m=100\ cm$

    ❤ $1\ m^2=10.000\ cm^2$

Pembahasan soal SBMPTN Trigonometri [2]

SBMPTN 2017

Jika $2sinx+3cotx-3cscx=0$, dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $sinx.cosx=...$

Pembahasan

$2sinx+3cotx-3cscx=0$

$2sinx+3\frac{cosx}{sinx}-3\frac{1}{sinx}=0$

$\frac{2sin^2x+3cosx-3}{sinx}=0$

$\frac{2(1-cos^2x)+3cosx-3}{sinx}=0$

$2-2cos^2x+3cosx-3\ dengan\ sinx\neq 0$

$2cos^2x-3cosx+1=0$

Misalkan $cosx=y$, maka

$2y^2-3y+1=0$

$(2y-1)(y-1)=0$

$y=\frac{1}{2}\ atau\ y=1$

karena $0<x<\frac{\pi }{2}$, maka kita pilih $y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2}$. Berdasarkan $cosx=\frac{1}{2}$ perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan gambar di atas, maka $sinx.cosx=\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$

SBMPTN 2017

Jika $\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$ dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $cos^2x-sin^2x=...$

Pembahasan

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}=5$

$tan(2x)=5\rightarrow$ dapat dibuat gambar segitiga seperti di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, maka $cos^2x-sin^2x=cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{26}}$

SBMPTN 2017

Diketahui persamaan $sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$. Jika ${\theta }_1$ dan ${\theta }_2$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan {\theta }_1.tan {\theta }_2=...$

Pembahasan

$sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$

$\frac{1}{cos\theta }\left( \frac{1}{cos\theta } .sin^2\theta+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=0$

$\frac{sin^2\theta }{cos^2\theta}+\frac{2}{3}.\frac{sin\theta}{cos\theta}=1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta =1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta -1 =0$, 

Anggap persamaan kuadrat dengan variabel $tan\theta$, maka $tan{\theta }_1.tan{\theta }_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$

UGM 2018
Diberikan persamaan $2sin^3x-cos^2x-2sinx=0,\ 0\leq x\leq \frac{3\pi }{2}$. Jika $x_1$ penyelesaian terkecil dan $x_2$ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $x_2-x_1= ...$

Pembahasan 

$2sin^3x-cos^2x-2sinx=0$
$2sin^3x-(1-sin^2x)-2sinx=0$
$2sin^3x+sin^2x-2sinx-1=0$
$(sinx-1)(sinx+1)(2sinx+1)=0$
$sinx=1\ atau\ sinx=-1\ atau\ sinx=-\frac{1}{2}$

Untuk $sinx=1\rightarrow x=90^o$

Untuk $sinx=-1\rightarrow x=270^o$
Untuk $sinx=-\frac{1}{2}\rightarrow x=210^o, 330^o$

$maka\ x_2-x_1=330^o-90^o=240^o$

SBMPTN 2018
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $(\pi ,2\pi )$ yang memenuhi $csc\ x(1-cotx)<0$ berbentuk $(a,b)$. Nilai $a+b$ adalah ...
Pembahasan
$csc\ x(1-cotx)<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( 1-\frac{cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( \frac{sinx-cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0\rightarrow {sin^2x}>0$, jadi haruslah $sinx-cosx<0$ agar memenuhi $\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0$.

Pembahasan Soal SBMPTN Logaritma [1]

SBMPTN 2018
Jika $2^4logx-^4log(4x+3)=-1$, maka $^2logx=...$

Pembahasan
$2^4logx-^4log(4x+3)=-1$
$^4logx^2-^4log(4x+3)=^4log4^{-1}$
$^4log\left ( \frac{x^2}{4x+3} \right )=^4log\left ( \frac{1}{4} \right )$
Maka $\frac{x^2}{4x+3}=\frac{1}{4}$
          $4x^2=4x+3$
          $4x^2-4x-3=0$
          $(2x-3)(2x+1)=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\ atau\ x=\frac{-1}{2} [Tidak\ Memenuhi]$
$x=\frac{3}{2}\rightarrow ^2logx=^2log\left ( \frac{3}{2} \right )=^2log3-^2log2=^2log3-1$

SBMPTN 2018
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$, maka $\alpha +\beta =...$

Pembahasan
$^xlog3-^xlog\left ( 2x-4+\frac{4}{x} \right )=1$
$^xlog\left ( \frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}} \right )=^xlogx$
$\frac{3}{2x-4+\frac{4}{x}}=x$
$3=2x^2-4x+4$
$2x^2-4x+1=0\rightarrow \alpha +\beta =-\frac{-4}{2}=2$

SBMPTN 2015
Diketahui $^plog2=9$ dan $^qlog4=8$. Jika $s=p^3$ dan $t=q^2$, maka nilai $^tlogs$ adalah ...

Pembahasan
Catatan yang perlu di ingat: $^alogb=c\Leftrightarrow b=a^c$
🍀 $^plog2=9\leftrightarrow 2=p^9\leftrightarrow p=2^{\frac{1}{9}}\leftrightarrow p^3=t=2^\frac{1}{3}$
🍀 $^qlog4=8\leftrightarrow 4=q^8\leftrightarrow q=4^{\frac{1}{8}}\leftrightarrow q^2=s=4^{\frac{1}{4}}$
Jadi
$^tlogs\leftrightarrow ^{4^{\frac{1}{4}}}log2^{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}\ ^4log2=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ ^2log2=\frac{2}{3}$

SBMPTN 2014
Jika $^ploga=2$ dan $^qlog8p=2$, maka $^{2p}log\frac{pq^2}{a}=...$

Pembahasan
Berdasarkan Soal:
🍀 $^ploga=2\leftrightarrow a=p^2$
🍀 $^qlog8p=2\leftrightarrow 8p=q^2$
Jadi
$^{2p}log\frac{pq^2}{a}=^{2p}log\frac{p(8p)}{p^2}=^{2p}log8=^{2p}log2^3=3\ ^{2p}log2=\frac{3}{^{2}log2p}$

SBMPTN 2014
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalan penyelesaian persamaan $(^2logx)^2+2logx=6$ maka $x_1x_2=...$

Pembahasan
$(^2logx)^2+2logx=6$, misalkan $2logx=y$, maka
$y^2+y=6$
$y^2+y-6=0$
$y_1+y_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$
$y_1+y_2=2logx_1+2logx_2=2logx_1.x_2$
Maka $2logx_1.x_2=-1\Leftrightarrow x_1.x_2=2^{-1}=\frac{1}{2}$

LEMBAR KERJA SISWA MATERI SEGIEMPAT

SIFAT-SIFAT SEGIEMPAT

TUJUAN PEMBELAJARAN

    ♥ Siswa dapat memahami jenis dan sifat-sifat segiempat
KEGIATAN
♣  Apakah yang dimaksud dengan diagonal?
♣  Apakah yang dimaksud dengan simetri putar?
♣  Apakah yang dimaksud dengan simetri lipat?
Perhatikan gambar di bawah ini:

Sebutkan gambar yang sejenis dengan gambar A. Sebutkan ciri-ciri/sifat-sifat dari bangun A tersebut berdasarkan:

• Panjang sisi bangun segiempat. Apakah semua sisi sama panjang atau tidak sama panjang?
• Panjang sisi yang berhadapan. Apakah sama panjang atau tidak sama panjang?
• Apakah mempunyai sepasang sisi sejajar atau dua pasang sisi sejajar?
• Kedudukan sisi-sisi yang berhadapan. Apakah sejajar atau berpotongan tegak lurus atau berpotongan tidak tegak lurus.
• Kedudukan diagonal-diagonalnya. Apakah sejajar atau berpotongan?
• Apakah masing-masing diagonal membagi daerah menjadi dua bagian sama besar atau tidak sama besar?
• Apakah titik potong kedua diagonal ditengah-tengah bangun tersebut jika seandainya diagonalnya berpotongan?
• Bagaimana panjang diagonalnya. Apakah sama panjang atau tidak sama panjang?
• Besar masing-masing sudutnya. Apakah semua sudut sama besar atau tidak sama besar?
• Besar sudut-sudut yang berhadapan. Apakah sama besar atau tidak sama besar atau jumlahnya $180^o$
• Besar sudut-sudut yang berdekatan. Apakah sama besar atau tidak sama besar atau jumlahnya $180^o$
• Berapa memiliki simetri lipat?
• Berapa memiliki simetri putar?

Sebutkan gambar yang sejenis dengan gambar B,C,D,G. Sebutkan ciri-ciri/sifat-sifat dari bangun B,C,D,G tersebut sesuai ciri-ciri di atas.

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan persegi panjang?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat jajargenjang dengan trapesium?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat belah ketupat dengan layang-layang?

♣  Apakah persamaan dan perbedaan sifat-sifat persegi dengan belah ketupat?

♣  Perhatikan gambar di bawah ini

    ♡ Tentukan nilai $y$

    ♡ Tentukan besar sudut $BAD$

    ♡ Tentukan besar sudut $ABC$






♣  Perhatikan gambar di bawah ini

Jika $AD=(2x+5),\ BC=(x+7),\ \angle ABC=60^o$, maka tentukan.
   ♡ Nilai $x$
   ♡ Panjang sisi $AD$
   ♡ Besar $\angle ADC$ dan $\angle BCD$

KEKONTINUAN SUATU FUNGSI

Kontinu dalam arti sederhana adalah proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Fungsi yang kontinu adalah fungsi yang grafiknya terus berlanjut tanpa adanya putus atau hilang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ini.
1. Fungsi $g(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

2. Fungsi $f(x)$ tidak kontinu [Diskontinu]

 3. Fungsi $h(x)$ kontinu

Definisi:

Fungsi $f(x)$ dikatakan kontinu pada $x=a$ jika $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Dari definisi di atas, secara implisit mengartikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ kontinu mensyaratkan tiga hal berikut.

1. $f(a)$ terdefinisi [ada]

2. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ ada

3. $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$

Sedangkan, fungsi $f(x)$ dikatakan diskontinu pada $x=b$ jika \lim_{x\rightarrow a}f$x$\neq f$a$.

Perhatikan contoh berikut:

1. Diketahui fungsi $f$ sebagai berikut:

$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1\ ;\ x>1\\ 2\ ;\ x=1\\ 3x^2-1\ ;\ x<1\end{matrix}\right.$

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat $x=1$.

Jawab.

👉 $f(1)=2$ [Terdefinisi/ada]

👉 Berdasarkan materi Konsep Limit maka $\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}{3x^2-1}={3(1)^2-1}=2$ sedangkan $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}{x+1}=1+1=2$. Karena limit kiri sama dengan limit kanan maka $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=2$

👉 $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)=2$

Karena ketiga syarat tersebut terpenuhi, maka fungsi $f(x)$ di atas kontinu saat $x=1$.
2. Diketahui fungsi $g$ sebagai berikut:
$g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$
Tentukan apakah fungsi berikut kontinu saat $x=1$

Jawab.

👉$g(1)$ tidak ada, karena jika kita substitusi $x=1$ ke fungsi $g(x)$ akan menghasilkan penyebutnya 0. Oleh karena itu $g(1)$ tidak terdefinisi.

Karena syarat pertama sudah tidak terpenuhi, maka kita tidak perlu mengecek syarat kedua dan ketiga karena sudah pasti fungsi $g(x)$ tidak kontinu.

Hubungan Antar Sudut

Perhatikan gambar di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, dua garis biru pada gambar di atas adalah sejajar dan dipotong oleh satu garis merah. Maka hubungan antar sudut sebagai berikut.
Sebagai catatan:
🍀 $\angle A_1$ maksudnya adalah sudut $A_1$
🍀 $\angle CAB=\angle A_3,\ \angle DBE=\angle B_3$, dan seterusnya

Sudut Sehadap adalah dua buah sudut yang besarnya sama. Berdasarkan gambar di atas, sudut sehadap adalah

♣ $\angle A_1=\angle B_1$

♣ $\angle A_2=\angle B_2$

♣ $\angle A_3=\angle B_3$

♣ $\angle A_4=\angle B_4$

Sudut dalam bersebrangan adalah dua buah sudut yang besarnya sama.Berdasarkan gambar di atas, sudut dalam bersebrangan adalah
♣ $\angle A_3=\angle B_1$
♣ $\angle A_4=\angle B_2$

Sudut luar bersebrangan adalah dua buah sudut yang besarnya sama.Berdasarkan gambar di atas, sudut luar bersebrangan adalah
♣ $\angle A_1=\angle B_3$
♣ $\angle A_2=\angle B_4$

Sudut dalam sepihak adalah dua buah sudut jika dijumlahkan hasilnya $180^o$. Berdasarkan gambar di atas sudut dalam sepihak adalah
♣ $\angle A_4+\angle B_1=180^o$
♣ $\angle A_3+\angle B_2=180^o$

Sudut luar sepihak adalah dua buah sudut jika dijumlahkan hasilnya $180^o$. Berdasarkan gambar di atas sudut luar sepihak adalah
♣ $\angle A_1+\angle B_4=180^o$
♣ $\angle A_2+\angle B_3=180^o$

Sudut saling bertolak belakang adalah dua buah sudut yang mempunyai besar sama. Berdasarkan gambar di atas sudut saling bertolak belakang adalah
♣ $\angle A_1=\angle A_3$
♣ $\angle A_2=\angle A_4$
♣ $\angle B_1=\angle B_3$
♣ $\angle B_2=\angle B_4$

Sudut berpelurus adalah dua buah sudut yang jika dijumlahkan menghasilkan $180^o$. Berdasarkan gambar di atas, sudut saling berpelurus adalah
♣ $\angle A_1+\angle A_3=180^o$
♣ $\angle A_1+\angle A_4=180^o$
♣ $\angle A_2+\angle A_3=180^o$
♣ $\angle A_3+\angle A_4=180^o$
♣ $\angle B_1+\angle B_3=180^o$
♣ $\angle B_1+\angle B_4=180^o$
♣ $\angle B_2+\angle B_3=180^o$
♣ $\angle B_3+\angle B_4=180^o$
Catatan: Pelurus dari $\angle A_1$ adalah $\angle A_3$, pelurus dari $\angle A_2$ adalah $\angle A_3$ dan seterusnya

Contoh soal
Perhatikan gambar berikut

Berapakah nilai dari

      a. $x=...?$

      b. $\angle ABC=...?$

      c. $\angle ABE=...?$

      d. $\angle HCG=...?$

      e. $\angle EBF=...?$

Pembahasan

Berdasarkan gambar di atas, dua garis yang biru merupakan garis yang sejajar. Garis merah memotong garis biru tersebut. 

a. $\angle ABC=3x+60^o$ dan $\angle BCD=150^o$. Hubungan sudut $\angle ABC$ dengan sudut $\angle BCD$ adalah bersebrangan dalam. Maka $\angle ABC=\angle BCD$

$3x+60^o=150^o$

$3x=150^o-60^o$

$3x=90^0$

$x=\frac{90^0}{3}$

$x=30^0$

b. $\angle ABC=...?$

$\angle ABC=3x+60^o$

$\angle ABC=3.30^o+60^o$

$\angle ABC=90^o+60^o$

$\angle ABC=150^o$

atau bisa dicari dengan hubungan sudut $\angle ABC$ dan sudut $\angle BCD$ adalah bersebrangan dalam. Maka $\angle ABC=\angle BCD=150^o$

c. $\angle ABE=...?$

$\angle ABE$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut saling berpelurus, maka jika kedua sudut tersebut dijumlahkan akan menghasilkan $180^o$

$\angle ABE+\angle ABC=180^o$

$\angle ABE+150^o=180^o$

$\angle ABE=180^o-150^o$

$\angle ABE=50^o$

d. $\angle HCG=...?$

$\angle HCG$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut yang sehadap, maka kedua sudut tersebut sama.

$\angle HCG=\angle ABC$

$\angle HCG=150^o$

e. $\angle EBF=...?$

$\angle EBF$ dengan $\angle ABC$ adalah dua buah sudut yang saling bertolak belakang, maka kedua sudut tersebut sama.

$\angle EBF=\angle ABC$

$\angle EBF=150^o$

❤❤  Dua buah sudut saling berpenyiku ❤❤

Perhatikan gambar di bawah ini untuk memahami dua sudut saling perpenyiku.

Berdasarkan gambar di atas, maka $\angle ABC$ saling berpenyiku dengan sudut $\angle CBD$. Oleh karena itu, maka

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

Catatan: Penyikut $\angle ABC$ adalah $\angle CBD$, begitupun sebaliknya yaitu penyiku $\angle CBD$ adalah $\angle ABC$

Contoh soal

Perhatikan gambar di bawah ini,

Tentukan

a. $x=...?$

b. $\angle ABC=...?$

c. $\angle CBD=...?$

d. Penyiku dari sudut CBD adalah ...

Pembahasan

a. Karena $\angle ABC$ dan $\angle CBD$ saling berpenyiku, maka 

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

$x+2x+30^o=90^o$

$3x+30^o=90^o$

$3x=90^o-30^o$

$3x=60^o$

$x=\frac{60^o}{3}=20^o$

b. $\angle ABC=...?$

$\angle ABC=x=20^o$

c.  $\angle CBD=...?$

$\angle ABC+\angle CBD=90^o$

$20^o+\angle CBD=90^o$

$\angle CBD=90^o-20^o=80^o$

d. Penyiku dari sudut CBD adalah sudut ABC yaitu $20^o$

Lihat tugas di link berikut.

Catatan: 

1. Buat tugas di kertas lempiran dengan menggunakan cara/pembahasan

2. Pelajari materi di atas dan contoh soalnya untuk menjawab soal, jika ada pertanyaan bisa coment di bawah ini. Diskusi juga bisa dilakukan di coment.
3. Setiap siswa yang coment masalah materi akan bapak catatan sebagai nilai untuk keaktifan.
4. Batas pengerjaan sampai tanggal 21 Maret 2020. Yang sudah selesai segera foto dan kirim ke bapak.

SELAMAT BEKERJA

Soal-soal Hubungan Antar Sudut

1. Perhatikan gambar di bawah ini

Berapakah nilai dari
a. $y=...$
b. $\angle BAE=...?$
c. $\angle BAG=...?$
d. $\angle DEA=...?$
e. $\angle CEA=...?$

2. Perhatikan gambar di bawah ini

Tentukan
a. $x=...?$
b. $\angle RQS=...?$
c. Tentukan penyiku dari sudut RQS

Pembahasan Soal SBMPTN Trigonometri [1]

UM UGM 2016

Jika $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$, maka $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$,
Kalikan $\frac{1-sec\ x}{tan\ x}=5$ dengan $\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$ maka

$\frac{1+sec\ x}{tan\ x}=B$

$\frac{1-sec\ x}{tan\ x}\times \frac{1+sec\ x}{tan\ x}=5B$

$\frac{1-sec^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$\frac{-tan^2\ x}{tan^2\ x}=5B$

$-1=5B\Leftrightarrow B=\frac{-1}{5}$

UM UGM 2015

Nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah ...

Pembahasan
Nilai minimum $f(x)$ diperoleh ketika $f'(x)=0$, yaitu

$f'(x)=2cos\ x-2sin\ 2x=0$

$2cos\ x-2.2sin\ x.cos\ x=0$

$2cos\ x(1-2sin\ x)=0$

$2cos\ x=0\ atau\ 1-2sin\ x=0$

👉 $2cos\ x=0\Leftrightarrow cos\ x=0$ maka $x$ yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}$
👉 $1-2sin\ x=0\Leftrightarrow sin\ x=\frac{1}{2}$ maka $x$ yang memenuhi adalah $\frac{\pi }{6},\ \frac{5\pi }{6}$
Jadi
⃟ $x=0\Rightarrow f(0)=2sin\ 0+cos\ (2.0)=0+1=1$
⃟ $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{2} \right )=2+(-1)=1$
⃟ $x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow f\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2sin\ \left ( \frac{3\pi }{2} \right )+cos\ 2\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=2(-1)+(-1)=-3$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=\frac{\pi }{6}\Rightarrow f\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2sin\ \left ( \frac{5\pi }{6} \right )+cos\ 2\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=2\left ( \frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$
⃟ $x=2\pi \Rightarrow f(2\pi)=2sin\ (2\pi)+cos\ 2(2\pi)=2.0+1=1$
Jadi nilai minimum fungsi $f(x)=2sin\ x+cos\ 2x$ pada interval $0\leq x\leq 2\pi$ adalah $-3$

SBMPTN 2017

Jika $0<x<\frac{\pi }{2}$ dan $3tan^2x+tanx=3$, maka nilai $cos^2x-sin^2x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
Berdasarkan trigonometri bahwa $cos^2x-sin^2x=cos(2x)$
Misalkan $tanx=y$, maka persamaan $3tan^2x+tanx=3$ menjadi $3y^2+y-3=0$
$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4.3.(-3)}}{2.3}=\frac{-1\pm \sqrt{37}}{6}$
Ambil $y=\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}$, karena $0<x<\frac{\pi }{2}$
$tan(2x)=\frac{2.tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{-1+ \sqrt{37}}{6}}{1-\left ( \frac{-1+ \sqrt{37}}{6} \right )^2}=\frac{\frac{-2+2\sqrt{37}}{6}}{\frac{-2+2\sqrt{37}}{36}}=\frac{6(-2+2\sqrt{37})}{(-2+2\sqrt{37})}=6$
Berdasarkan $tan(2x)=6$, maka dapat dibuat gambar segitiga siku-siku berikut

Berdasarkan gambar di samping maka $cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{37}}$

SBMPTN 2018 
Jika periode fungsi $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{\pi }{3}$, maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ...

Pembahasan

Peride dari $f(x)=2cos(ax)+a$ adalah $\frac{2\pi }{a}$, maka $\frac{2\pi}{a}=\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow a=6$

 Jadi $f(x)=2cos(6x)+6$

Nilai minimum dari  $cos(6x)$ adalah -1, maka nilai minimum dari $f(x)=2cos(6x)+6$ adalah $2.(-1)+6=4$

Lihat juga: Perubahan grafik trigonomeri, Materi-Materi Trigonometri,

ASIMTOT MIRING SUATU FUNGSI

Sebelumnya, kita sudah pernah bahas asimtot datar dan asimtot tegak dari suatu grafik. Sekarang lebih lengkap rasanya kalau kita bahas asimtot miring. Sebelumya, asimtot adalah garis lurus yang mendekati suatu grafik, namun tidak pernah menyentuh grafik. 

Kriteria kemungkinan fungsi mempunyai asimtot miring.

1).  Suatu fungsi berbentuk pecahan, $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Pangkat tertinggi pembilangnya $f(x)$ harus lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebutnya $g(x)$.

3).  Hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$ merupakan asimtot miringnya, dengan syarat hasil baginya harus berderajat satu [Linier].

Cara menentukan asimtot miring

1). Misalkan diberikan fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$

2). Tentukan hasil bagi $f(x)$ dengan $g(x)$, misalkan hasil baginya $h(x)=ax+b$ dan sisanya $s(x)$, sehingga 

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)+\frac{s(x)}{g(x)}$

                    $\frac{f(x)}{g(x)}=(ax+b)+\frac{s(x)}{g(x)}$

3). Persamaan linier $h(x)=ax+b$ merupakan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Contoh soal.
Tentukan asimtot miring dari fungsi $y=\frac{x^2+6x+3}{x-2}$
Jawab.
Dengan menggunakan cara Horner atau pembagian biasa, hasil bagi $x^2+6x+3$ dibagi $x-2$ adalah $h(x)=x+8$ dan sisanya $s(x)=19$.
Jadi $\frac{x^2+6x+3}{x-2}=(x+8)+\frac{19}{x-2}$
Dengan demikian, asimtot miringnya adalah $h(x)=x+8$. Kalau kita gambar akan jadi seperti di bawah ini.

Dari gambar di atas, garis putus-putus yang berwarna merah adalah asimtot miring dari fungsi. Kalau diperhatikan $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^2+6x+3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( (x+8)+\frac{19}{x-2} \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}$.
👉 $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{19}{x-2}=0$ dan $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+8)=\infty$. Jadi secara sederhana dapat dikatakan bahwa asimtot miring adalah persamaan garis yang jika dilimitkan dengan $x$ mendekati $\infty$ akan menghasilkan $\infty$ juga.
Lihat juga: Grafik fungsi genap dan fungsi ganjil

KUMPULAN RUMUS LENGKAP TRIGONOMETRI

Berikut merupakan kumpulan rumus lengkap trigonometri. Untuk penggunaan rumus ini akan saya sajikan dalam pembahasan soal-soal SBMPTN.

IDENTITAS TRIGONOMETRI
$sin^2A+cos^2A=1$
$tan^2A+1=sec^2A$
$1+cotan^2A=cosec^2A$

RUMUS JUMAH DAN SELISIH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin(A+B)=sinA.CosB+cosA.sinB$
$sin(A-B)=sinA.CosB-cosA.sinB$
$cos(A+B)=cosA.cosB-sinA.sinB$
$cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB$
$tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}$
$tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanA.tanB}$

RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI
$2sinA.cosB=sin(A+B)+sin(A-B)$
$2cosA.sinB=sin(A+B)-sin(A-B)$
$2cosA.cosB=cos(A+B)+cos(A-B)$
$2sinA.sinB=-cos(A+B)+cos(A-B)$

  RUMUS JUMLAH DAN SELISIH TRIGONOMETRI

  $sinA+sinB=2sin\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $sinA-sinB=2cos\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA+cosB=2cos\frac{(A+B)}{2}.cos\frac{(A-B)}{2}$

  $cosA-cosB=-2sin\frac{(A+B)}{2}.sin\frac{(A-B)}{2}$

  $tanA+tanB=\frac{2sin(A+B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

  $tanA-tanB=\frac{2sin(A-B)}{cos(A+B)+cos(A-B)}$

RUMUS SUDUT RANGKAP DUA DAN TIGA TRIGONOMETRI
$sin2A=2sinA.cosA$
$cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2-1$
$tan2A=\frac{2tanA}{1-tan^2A}=\frac{2cotA}{cot^2A-1}=\frac{2}{cotA-tanA}$
$cotan2A=\frac{cotan^2A-1}{2.cotanA}$
$sin3A=3sinA-4sin^3A$
$cos3A=4cos^3A-3cosA$
$tan\ 3A=\frac{3tan\ A-tan^3\ A}{1-3tan^2\ A}$
$cot\ 3A=\frac{cot^3\ A-cot\ A}{3tan^2\ A-1}$

RUMUS SETENGAH SUDUT TRIGONOMETRI
$sin\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}$
$cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosA}{2}}$
$tan\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA}}=\frac{sinA}{1+cosA}=\frac{1-cosA}{sinA}$

RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI
Perhatikan gambari dibawah ini

Berdasarkan gambar di samping
❤ Aturan sinus
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
❤ Aturan cosinus
⃟ $a^2=b^2+c^2-2bc.cosA$
⃟ $b^2=a^2+c^2-2ac.cosB$
⃟ $c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
❤ Aturan luas segitiga
$L\Delta ABC=\frac{1}{2}ab.cosC=\frac{1}{2}ac.cosB=\frac{1}{2}bc.cosA$
$L\Delta ABC=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, dengan $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

RUMUS GANJIL DAN GENAP TRIGONOMETRI
$sin(-A)=-sinA$
$cos(-A)=cosA$
$tan(-A)=-tanA$

Lihat juga: Perubahan Grafik Fungsi Trigonometri

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN KUTUB

❤ Koordinat Kutub❤
Dalam menentukan posisi pada bidang datar, kita sudah mengenal koodinat kartesius. Selain koordinat kartesius, posisi suatu benda juga dapat ditentukan melalui koordinat kutub. Koordinat kutub ini sering digunakan oleh tentara-tentara untuk menandakan lokasi suatu obyek. 

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub [polar axis], sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama dengan huruf O disebut kutub atau titik asal [origin]. Biasanya sumbu kutub digambar mendatar dan mengarah ke kanan, dan oleh karenanya sumbu kutub dapat dilihat sebagai sumbu $x$ positif di dalam sistem koordinat kartesius, seperti tampak pada gambar berikut.

Jika $r$ adalah jari-jari lingkaran dan $\theta$ adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh sinar garis dengan sumbu kutub tersebut, maka $(r,\theta)$ adalah pasangan koordinat kutub [polar coordinate] untuk titik $P$ dan ditulis $P(r,\theta)$. Perhatikan gambar berikut:

Titik-titik yang dilukiskan dengan koordinat kutub akan mudah digambar, apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas grafik kutub telah tergambar lingkaran-lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar garis yang memancar dari titik kutub. Gambar berikut merupakan beberapa titik yang diplot pada sebuah kertas/kisi kutub.

❤ Persamaan Kutub❤
Seperti halnya sistem koordinat kartesius yang dapat disusun persamaan kartesius dengan peubah-peubah $x$ dan $y$, maka dalam sistem koordinat kutub juga dapat disusun persamaan yang dinamakan persamaan kutub dengan peubah-peubah $r$ dan $\theta$.
Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan tersebut. Cara yang paling mendasar untuk menggambar sebuah grafik adalah menyusun tabel yang berisi nilai-nilai, memplot titik-titik yang bersesuaian, dan kemudian menghubungkan titik-titik tersebut. 
Berikut merupakan contoh persamaan kutub dan grafiknya pada koordinat kutub.
1. Gambarlah grafik dari $r = 8\ sin\ \theta$
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai $r$ yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut. 

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.

2. Gambarlah grafik dari $r-5\ cos\ \theta =0$
Jawab.
Substitusikan $\theta$ dengan kelipatan $\frac{\pi }{6}$ dan menghitung nilai $r$ yang bersesuaian. Hasil perhitungannya terlihat pada tabel berikut.

Berdasarkan tabel berikut dapat dibuat grafik pada koordinat polar.