Pembahasan soal SBMPTN Trigonometri [2]

SBMPTN 2017

Jika $2sinx+3cotx-3cscx=0$, dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $sinx.cosx=...$

Pembahasan

$2sinx+3cotx-3cscx=0$

$2sinx+3\frac{cosx}{sinx}-3\frac{1}{sinx}=0$

$\frac{2sin^2x+3cosx-3}{sinx}=0$

$\frac{2(1-cos^2x)+3cosx-3}{sinx}=0$

$2-2cos^2x+3cosx-3\ dengan\ sinx\neq 0$

$2cos^2x-3cosx+1=0$

Misalkan $cosx=y$, maka

$2y^2-3y+1=0$

$(2y-1)(y-1)=0$

$y=\frac{1}{2}\ atau\ y=1$

karena $0<x<\frac{\pi }{2}$, maka kita pilih $y=\frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2}$. Berdasarkan $cosx=\frac{1}{2}$ perhatikan gambar di bawah!

Berdasarkan gambar di atas, maka $sinx.cosx=\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{3}$

SBMPTN 2017

Jika $\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$ dengan $0<x<\frac{\pi }{2}$ maka $cos^2x-sin^2x=...$

Pembahasan

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}-5=0$

$\frac{2tanx}{1-tan^2x}=5$

$tan(2x)=5\rightarrow$ dapat dibuat gambar segitiga seperti di bawah ini

Berdasarkan gambar di atas, maka $cos^2x-sin^2x=cos(2x)=\frac{1}{\sqrt{26}}$

SBMPTN 2017

Diketahui persamaan $sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$. Jika ${\theta }_1$ dan ${\theta }_2$ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $tan {\theta }_1.tan {\theta }_2=...$

Pembahasan

$sec\theta \left ( sec\theta (sin\theta )^2+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=1$

$\frac{1}{cos\theta }\left( \frac{1}{cos\theta } .sin^2\theta+\frac{2}{3}\sqrt{3}sin\theta  \right )=0$

$\frac{sin^2\theta }{cos^2\theta}+\frac{2}{3}.\frac{sin\theta}{cos\theta}=1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta =1$

$tan^2\theta +\frac{2}{3}tan\theta -1 =0$, 

Anggap persamaan kuadrat dengan variabel $tan\theta$, maka $tan{\theta }_1.tan{\theta }_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$

UGM 2018
Diberikan persamaan $2sin^3x-cos^2x-2sinx=0,\ 0\leq x\leq \frac{3\pi }{2}$. Jika $x_1$ penyelesaian terkecil dan $x_2$ penyelesaian terbesar dari persamaan tersebut, maka $x_2-x_1= ...$

Pembahasan 

$2sin^3x-cos^2x-2sinx=0$
$2sin^3x-(1-sin^2x)-2sinx=0$
$2sin^3x+sin^2x-2sinx-1=0$
$(sinx-1)(sinx+1)(2sinx+1)=0$
$sinx=1\ atau\ sinx=-1\ atau\ sinx=-\frac{1}{2}$

Untuk $sinx=1\rightarrow x=90^o$

Untuk $sinx=-1\rightarrow x=270^o$
Untuk $sinx=-\frac{1}{2}\rightarrow x=210^o, 330^o$

$maka\ x_2-x_1=330^o-90^o=240^o$

SBMPTN 2018
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $(\pi ,2\pi )$ yang memenuhi $csc\ x(1-cotx)<0$ berbentuk $(a,b)$. Nilai $a+b$ adalah ...
Pembahasan
$csc\ x(1-cotx)<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( 1-\frac{cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{1}{sinx}\left ( \frac{sinx-cosx}{sinx} \right )<0$
$\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0\rightarrow {sin^2x}>0$, jadi haruslah $sinx-cosx<0$ agar memenuhi $\frac{sinx-cosx}{sin^2x}<0$.