Peluang Binomial

Distribusi Binomial
Penemu Distriusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai distribusi Bernaulli.
Distribusi binomila harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Eksperimen terdiri dari $n$ buah percobaan berulang
2. Setiap percobaan memberikan dua kemungkinan hasil yaitu "berhasil" atau "gagal"
3. Peluang "berhasil" yang disebut $p$ bersifat tetap sepanjang percobaan [atau peluang dengan pengembalian], contohnya jika lambungan pertama peluang sukses adalah $\frac{1}{2}$, maka pelambungan berikutnya harus tetap yaitu $\frac{1}{2}$
4. Peluang "gagal" disebut $q$, dengan $q=1-p$.
5. Percobaan sebanyak $n$ kali adalah bersifat bebas [$Independent$], artinya hasil setiap eksperimen tidak mempengaruhi hasil dari eksperimen yang lain.

Definisi Distribusi Peluang Binomial:
$f(x)=P(X=x)=b(x,n,p)=_{x}^{n}\textrm{C}\times p^{x}\times q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\times p^{x}\times q^{n-x}$
dengan: $p=$ Peluang sukses

$q=$ Peluang gagal

$n=$ Jumlah total percobaan

$x=$ Jumlah sukses dari $n$ kali percobaan

Contoh Soal

1. Peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah ...
   Pembahasan
   Misalkan $G$ adalah kejadian muncul sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam, dan $G^T$ adalah kejadian muncul sisi bukan gambar pada pelemparan sebuah uang logam, maka:
   $G=\left \{ G \right \} \rightarrow n(A)=1$ dan $S=\left \{ A,G \right \} \rightarrow n(S)=2$ karena sebuah uang logam
   $P(G)=\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{1}{2}$ dan $P(G)+P(G^T)=1$
   
   $\frac{1}{2}+P(G^T)=1$
   $P(G^T)=\frac{1}{2}$
   Jadi, peluang untuk mendapatkan 6 sisi gambar pada pelemparan sebuah uang logam sebanyak 10 kali adalah
   $P(X=6)=_{6}^{10}\textrm{C}\times P(G)^{6}\times P(G^{T})^{10-6}$
   
   $=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!}\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{10-6}$
   $=10 \times 3 \times 7\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$
   $=210\left ( \frac{1}{2} \right )^{10}$
2. 10 persen dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan dua buah benda kategori A
   Pembahasan
   Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya benda kategori A. Maka $P(A)=\frac{10}{100}=0,1$
   $A^T$ adalah kejadian munculnya benda bukan kategori A. Maka
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $0,1+P(A^{T})=1$ $P(A^T)=0,9$
   Jadi, peluang berisikan dua benda kategori A adalah: $P(X=A)=_{2}^{30}\textrm{C}\times P(A)^{2}\times P(A^{T})^{30-2}$
   $=\frac{30 \times 29 \times 28!}{2 \times 1 \times 28!}(0,1)^{2}(0,9)^{30-2}$
   $=15 \times 29(0,1)^{2}(0,9)^{28}$
3. UN SMA Tapel 2014-2015 Program Studi IPA
   Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac{3}{5}$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ...
   A. $\frac{180}{625}$
   B. $\frac{612}{625}$
   C. $\frac{216}{625}$
   D. $\frac{228}{625}$
   E. $\frac{230}{625}$
   Pembahasan
   Misalkan $A$ adalah kejadian penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti, maka $P(A)=\frac{3}{5}$.
   $A^{T}$ adalah kejadian penjaga gawang profesional tidak mampu menahan tendangan penalti, maka peluangnya adalah $P(A^{T})$.
   $P(A)+P(A^{T})=1$
   $\frac{3}{5}+P(A^{T})=1$
   $P(A^{T})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
   $P(X=3)=_{3}^{5}\textrm{C}\left ( P(A) \right )^{3}\left ( P(A^{T}) \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5!}{(5-3)!\times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times3!}\left( \frac{3}{5} \right )^{3}\left ( \frac{2}{5} \right )^{(5-3)}$
   $=5 \times 2 \times \left( \frac{3}{5} \right ) \left( \frac{3}{5} \right )^{2}\left( \frac{2}{5} \right )^{2}$
   $=\frac{216}{625}$
   Jadi, peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti adalah $\frac{216}{625}$
   Jawaban C